Simular/trazar campo electrostático

Como dije anteriormente en mi comentario, Comsol es bastante útil para este tipo de cosas. Tomé tu problema, y ​​esta es la trama que obtuve. Espero que sea útil.

¡El tanque de salmuera es una forma histórica y excelente de encontrar soluciones a la ecuación de Laplace! Esto se usó para diseñar cosas como imanes de ciclotrón y lentes electrostáticas para partículas cargadas antes de que las computadoras fueran lo suficientemente rápidas.

Imagen de Tanabe y Yamada 1958 ; Informes científicos del Instituto de Investigación, Universidad de Tohoku, Serie A, 10, 133-174

La forma más sencilla de resolverlo numéricamente es hacer " relajación de Jacobi ". Lea más sobre esto aquí, por ejemplo . En coordenadas cartesianas, haces una cuadrícula numérica y estableces los puntos que corresponden a la superficie de los conductores a su potencial, y estableces el potencial al límite a algún valor intermedio. A continuación, he elegido -1, +1 y 0. El límite debe estar lo suficientemente lejos para que no afecte mucho a su región de interés. Esta es una técnica aproximada.

Luego iteras. Para cada pase, crea un nuevo potencial que es el promedio de los vecinos más cercanos +/-x y +/-y, cuatro en total. Solo actualiza los puntos que no están en el conductor o límite . Después de miles de iteraciones, el potencial se acerca a una solución de la ecuación de Laplace.

Si desea una mejor solución, haga el espacio más pequeño y el límite más alejado. Si es demasiado lento (con frecuencia está en 3D), entonces puede usar

• multirredes ; resolver en una cuadrícula gruesa (rápida), luego interpolar a una cuadrícula fina e iterar un poco más

• sobrerelajación sucesiva ; "sobrepasar" el promedio cambiando los valores en una cantidad superior al 100 % de lo que tendría con un promedio simple. Pruebe valores como 110% a 150%, puede volverse inestable si son demasiado grandes.

Si tienes alguna duda o necesitas aclaración, deja un comentario. Usé esta técnica en esta pregunta , donde guardé instantáneas intermedias y las convertí en un GIF.

Aquí hay un ejemplo en Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.ndimage import convolve

d = 0.25

x = np.arange(0, 35+d, d)
y = np.arange(0, 48+d, d)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

phi = np.zeros_like(X)

isneg = np.zeros_like(X, dtype=bool)
ispos = np.zeros_like(X, dtype=bool)
bound = np.zeros_like(X, dtype=bool)

isneg[(X>=9)*(X<=19)*(Y>=10)*(Y<=12)] = True

ispos[(X>=10)*(X<=20)*(Y>=28)*(Y<=30)] = True
ispos[(X>=18)*(X<=20)*(Y>=20)*(Y<=28)] = True

bound[:,0] = bound[:,-1] = bound[0,:] = bound[-1,:] = True

phi[isneg] = -1.0
phi[ispos] = +1.0
phi[bound] =  0.0

updateme = np.ones_like(X, dtype=bool)
updateme[isneg] = updateme[ispos] = updateme[bound] = False

kernel = 0.25*np.array([[0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]], dtype=float)

phi0 = phi.copy()  # keep the original handy
keepers = 0, 100, 500, 1000, 2000, 9999
keep = []
for i in range(10000):
    if i in keepers:
        keep.append(phi.copy())
        print i
    phi2 = convolve(phi, kernel)
    phi[updateme] = phi2[updateme]

plt.figure()
for i, (thing, n) in enumerate(zip(keep, keepers)):
    plt.subplot(2, 3, i+1)
    plt.imshow(thing, origin='lower')
    plt.title("n="+str(n))
plt.show()