Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

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Integrales trigonométricas

usuario809843

como puedo integrar
$\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} ?$ $\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?$

Aquí está mi intento:

\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} = \int \frac{d X}{((X - 2)^{2} + 9)^{2}}

$\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}=\int \dfrac{dx}{((x-2)^2+9)^2}$

Sustituto $x-2=3\tan\theta$ , $\ dx=3\sec^2\theta d\theta$

\begin{aligned} = \int \frac{3 {segundo}^{2} θ d θ}{(9 {broncearse}^{2} θ + 9)^{2}} \\ = \int \frac{3 {segundo}^{2} θ d θ}{81 {segundo}^{4} θ} \\ = \frac{1}{27} \int {porque}^{2} θ d θ \\ = \frac{1}{27} \int \frac{1 + porque 2 θ}{2} d θ \\ = \frac{1}{54} (θ + \frac{pecado 2 θ}{2}) + C \end{aligned}

$\begin{align*} &=\int \dfrac{3\sec^2\theta d\theta}{(9\tan^2\theta+9)^2}\\ &=\int \dfrac{3\sec^2\theta d\theta}{81\sec^4\theta}\\ &=\dfrac{1}{27}\int \cos^2\theta d\theta\\ &=\dfrac{1}{27}\int \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta\\ &=\dfrac{1}{54}\left(\theta+\frac{\sin2\theta}{2}\right)+C \end{align*}$

Aquí es donde me quedé atascado. ¿Cómo puedo obtener la respuesta en términos de $x$ ?

¿Puedo resolverlo por otros métodos?

Respuestas (9)

heroupup

Desde que seleccionó

X - 2 = 3 broncearse θ

$x - 2 = 3 \tan \theta$ como su sustitución, se deduce que

broncearse θ = \frac{X - 2}{3},

$\tan \theta = \frac{x-2}{3},$ y considerando un triángulo rectángulo con catetos

3

$3$ y

x - 2

$x-2$ con hipotenusa

\sqrt{3^{2} + (x - 2)^{2}}

$\sqrt{3^2 + (x-2)^2}$ vía el teorema de Pitágoras, obtenemos

pecado θ = \frac{X - 2}{\sqrt{3^{2} + (X - 2)^{2}}}, porque θ = \frac{3}{\sqrt{3^{2} + (X - 2)^{2}}} .

$\sin \theta = \frac{x-2}{\sqrt{3^2 + (x-2)^2}}, \\ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3^2 + (x-2)^2}}.$ Por lo tanto,

\frac{1}{2} pecado 2 θ = pecado θ porque θ = \frac{3 (X - 2)}{3^{2} + (X - 2)^{2}} = \frac{3 (X - 2)}{X^{2} - 4 X + 13} .

$\frac{1}{2} \sin 2\theta = \sin \theta \cos \theta = \frac{3(x-2)}{3^2 + (x-2)^2} = \frac{3(x-2)}{x^2 - 4x + 13}.$ También tenemos fácilmente

θ = {broncearse}^{- 1} \frac{X - 2}{3} .

$\theta = \tan^{-1} \frac{x-2}{3}.$ Por lo tanto

\frac{1}{54} (θ + \frac{1}{2} pecado 2 θ) = \frac{1}{54} ({broncearse}^{- 1} \frac{X - 2}{3} + \frac{3 (X - 2)}{X^{2} - 4 X + 13}) .

$\frac{1}{54}\left( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) = \frac{1}{54} \left( \tan^{-1} \frac{x-2}{3} + \frac{3(x-2)}{x^2 - 4x + 13} \right).$

Harish Chandra Rajpoot

Puedes resolverlo usando la fórmula de inducción: $\color{blue}{\int \frac{dt}{(t^2+a^2)^n}=\frac{t}{2(n-1)a^2(t^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}\int \frac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}}}$ como sigue

\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}}

$\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}$

= \int \frac{d (X - 2)}{((X - 2)^{2} + 3^{2})^{2}}

$=\int \dfrac{d(x-2)}{((x-2)^2+3^2)^2}$

= \frac{X - 2}{2 \cdot 3^{2} ((X - 2)^{2} + 3^{2})} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} \int \frac{d (X - 2)}{(X - 2)^{2} + 3^{2}}

$=\frac{x-2}{2\cdot 3^2((x-2)^2+3^2)}+\frac{1}{2\cdot 3^2}\int \frac{d(x-2)}{(x-2)^2+3^2}$

= \frac{X - 2}{18 (X^{2} - 4 X + 13)} + \frac{1}{18} (\frac{1}{3} {broncearse}^{- 1} (\frac{X - 2}{3})) + C

$=\frac{x-2}{18(x^2-4x+13)}+\frac{1}{18}\left(\frac13\tan^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) \right)+C$

= \frac{X - 2}{18 (X^{2} - 4 X + 13)} + \frac{1}{54} {broncearse}^{- 1} (\frac{X - 2}{3}) + C

$=\bbox[15px,#ffd,border:1px solid green]{\frac{x-2}{18(x^2-4x+13)}+\frac{1}{54}\tan^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right)+C}$

ubicación de trance

Después de completar cuadrados y sustituir $u=\frac{x-2}{3}$ , hay un truco estándar simple para evaluar la integral sin sustituciones trigonométricas:

\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} \overset{tu = \frac{X - 2}{3}}{=} \frac{1}{27} \underset{I (tu)}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{({tu}^{2} + 1)^{2}} d tu}}

$\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2} \stackrel{u=\frac{x-2}{3}}{=}\frac 1{27} \underbrace{\int \frac{1}{(u^2+1)^2}du}_{I(u)}$

Solo reescribe el numerador

I (tu) = \int \frac{1 + {tu}^{2} - {tu}^{2}}{({tu}^{2} + 1)^{2}} d tu = arcán tu - \frac{1}{2} \underset{j (tu)}{\underset{⏟}{\int tu \frac{2 tu}{({tu}^{2} + 1)^{2}}}}

$I(u) = \int\frac{1+u^2-u^2}{(u^2+1)^2}du = \arctan u - \frac 12\underbrace{\int u \frac{2u}{(u^2+1)^2}}_{J(u)}$

Entonces, solo una integración parcial rápida da

j (tu) = - \frac{tu}{{tu}^{2} + 1} + arcán tu

$J(u) = -\frac u{u^2+1}+\arctan u$

Por eso,

I (tu) = arcán tu - \frac{1}{2} (- \frac{tu}{{tu}^{2} + 1} + arcán tu) = \frac{1}{2} (arcán tu + \frac{tu}{{tu}^{2} + 1})

$I(u) = \arctan u - \frac 12\left(-\frac u{u^2+1}+\arctan u\right) =\frac 12 \left(\arctan u + \frac u{u^2+1}\right)$

Finalmente, vuelva a sustituir $u=\frac{x-2}{3}$ y listo:

\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} = \frac{1}{27} I (tu) = \frac{1}{54} (arcán \frac{X - 2}{3} + \frac{\frac{X - 2}{3}}{{(\frac{X - 2}{3})}^{2} + 1}) (+ C)

$\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2} = \frac 1{27}I(u)= \frac 1{54}\left(\arctan \frac{x-2}{3} + \frac{\frac{x-2}{3}}{\left(\frac{x-2}{3}\right)^2+1}\right) (+C)$

= \frac{1}{54} (arcán \frac{X - 2}{3} + \frac{3 (X - 2)}{{(X - 2)}^{2} + 9}) (+ C)

$= \frac 1{54}\left(\arctan \frac{x-2}{3} + \frac{3(x-2)}{\left(x-2\right)^2+9}\right)(+C)$

Harish Chandra Rajpoot

sustituto $\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right)$ &

pecado 2 θ = \frac{2 broncearse θ}{1 + {broncearse}^{2} θ} = \frac{2 (\frac{X - 2}{3})}{1 + {(\frac{X - 2}{3})}^{2}} = \frac{6 (X - 2)}{X^{2} - 4 X + 13}

$\sin2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{2\left(\frac{x-2}{3}\right)}{1+\left(\frac{x-2}{3}\right)^2}=\frac{6(x-2)}{x^2-4x+13}$

Después de sustituir $\theta$ y $\sin2\theta$ , obtendrás la respuesta final

I = \frac{1}{54} {broncearse}^{- 1} (\frac{X - 2}{3}) + \frac{X - 2}{18 (X^{2} - 4 X + 13)} + C

$I=\frac{1}{54}\tan^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right)+\frac{x-2}{18(x^2-4x+13)}+C$

toby mak

Aquí hay un método alternativo. Primero puede usar la sustitución para simplificar la integral:

\int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}}

$\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}$

\begin{matrix} (tu = X - 2, d tu = d X) & = \int \frac{d X}{((X - 2)^{2} + 9)^{2}} = \int \frac{d tu}{({tu}^{2} + 9)^{2}} \end{matrix}

$=\int \dfrac{dx}{((x-2)^2+9)^2} = \int \dfrac{du}{(u^2+9)^2} \tag{$u=x-2, du = dx$}$

\begin{matrix} (tu = 3 v, d tu = 3 d v) & = \frac{1}{81} \int \frac{d tu}{(\frac{{tu}^{2}}{9} + 1)^{2}} = \frac{1}{27} \int \frac{d v}{(v^{2} + 1)^{2}} \end{matrix}

$=\frac{1}{81}\int \dfrac{du}{(\frac{u^2}{9}+1)^2} = \frac{1}{27} \int \dfrac{dv}{(v^2+1)^2} \tag{$u=3v, du = 3 \ dv$}$

y luego use la integración por partes como se muestra en la respuesta de René en este hilo . Esto lleva a:

2 \int \frac{1}{(1 + v^{2})^{2}} d v = \frac{v}{1 + v^{2}} + \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v

$2\int \frac{1}{(1+v^2)^2}\,dv=\frac{v}{1+v^2}+\int \frac{1}{1+v^2}\,dv$

\int \frac{1}{(1 + v^{2})^{2}} d v = \frac{1}{2} (\frac{v}{1 + v^{2}} + arcán (v))

$\int \frac{1}{(1+v^2)^2}\,dv=\frac{1}{2} \left(\frac{v}{1+v^2}+\arctan(v) \right)$

y luego un par de sustituciones hacia atrás te llevan a la respuesta del problema original.

ubicación de trance

Ahora es agradable :-) +1

Z Ahmed

Consideremos la transformación de Euler

I = \int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} = \int \frac{d X}{(X - a)^{2} (X - b)^{2}}, a, b = 2 \pm 3 i .

$I=\int \frac{dx}{(x^2-4x+13)^2}=\int \frac{dx}{(x-a)^2 (x-b)^2},~~a,b=2\pm 3i.$ Dejar

t = \frac{X - a}{X - b} ⟹ X = \frac{b t - a}{t - 1} ⟹ d X = \frac{a - b}{(t - 1)^{2}} .

$t=\frac{x-a}{x-b} \implies x=\frac{bt-a}{t-1} \implies dx=\frac{a-b}{(t-1)^2}.$ Entonces

I = (b - a)^{- 3} \int \frac{d t}{t^{2} (t - 1)^{2}} = (a - b)^{- 3} \int \frac{{tu}^{2} d tu}{(tu - 1)^{2}}, tu = 1 / t .

$I=(b-a)^{-3} \int \frac{dt}{t^2(t-1)^2}=(a-b)^{-3}\int \frac{u^2 du}{(u-1)^2}, u=1/t .$ Próximo uso

u = v + 1

$u=v+1$ , entonces

I = (a - b)^{3} \int [1 - 2 / v + 1 / v^{2}] d v = (a - b)^{- 3} [v - 2 en v - 1 / v]

$I=(a-b)^3 \int [1-2/v+1/v^2] dv= (a-b)^{-3}[v-2 \ln v -1/v]$

I = (a - b)^{- 3} (\frac{a - b}{X - a} - 2 en \frac{a - b}{X - a} - \frac{X - a}{a - b})

$I=(a-b)^{-3}\left(\frac{a-b}{x-a}-2\ln \frac{a-b}{x-a}-\frac{x-a}{a-b}\right)$

Vicente Tibullo

Configurando

\frac{1}{{(X^{2} - 4 X + 13)}^{2}} = \frac{A (2 X - 4) + B}{X^{2} - 4 X + 13} + \frac{d}{d X} (\frac{C X + D}{X^{2} - 4 X + 13})

$\frac{1}{\left(x^2-4 x+13\right)^2}=\frac{A (2 x-4)+B}{x^2-4 x+13}+\frac{d}{dx}\left(\frac{C x+D}{x^2-4 x+13}\right)$ usted obtiene

\begin{aligned} A & = 0, \\ B & = \frac{1}{18}, \\ C & = \frac{1}{18}, \\ D & = - \frac{1}{9} \end{aligned}

$\begin{align} A &= 0,\\ B &= \frac{1}{18},\\ C &= \frac{1}{18},\\ D &= -\frac{1}{9} \end{align}$ de modo que

\begin{aligned} \int \frac{1}{{(X^{2} - 4 X + 13)}^{2}} d X & = \frac{1}{18} \int \frac{1}{X^{2} - 4 X + 13} d X + \frac{X - 2}{18 (X^{2} - 4 X + 13)} = \\ = \frac{1}{54} arcán (\frac{X - 2}{3}) + \frac{X - 2}{18 (X^{2} - 4 X + 13)} + C \end{aligned}

$\begin{align} \int\frac{1}{\left(x^2-4 x+13\right)^2}dx &= \frac{1}{18}\int\frac{1}{x^2-4 x+13}dx+\frac{x-2}{18(x^2-4 x+13)}=\\ &= \frac{1}{54} \arctan\left(\frac{x-2}{3}\right)+\frac{x-2}{18(x^2-4x+13)}+c \end{align}$

cuanto

Sustituto $t=x-2$

\begin{aligned} \int \frac{d X}{(X^{2} - 4 X + 13)^{2}} & = \int \frac{d t}{(t^{2} + 9)^{2}} = \int \frac{1}{18 t} d (\frac{t^{2}}{t^{2} + 9}) \\ = \frac{t}{18 (t^{2} + 9)} + \frac{1}{18} \int \frac{d t}{t^{2} + 9} \\ = \frac{t}{18 (t^{2} + 9)} + \frac{1}{54} {broncearse}^{- 1} \frac{t}{3} + C \end{aligned}

$\begin{align} \int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2} & =\int \dfrac{dt}{(t^2+9)^2}= \int \frac1{18t}d\left( \frac{t^2}{t^2+9}\right)\\ &= \frac t{18(t^2+9)}+\frac1{18}\int \frac{dt}{t^2+9}\\ &= \frac t{18(t^2+9)}+\frac1{54}\tan^{-1}\frac t3+C \end{align}$

Lai

$\begin{aligned} I&=\int \frac{d x}{\left[(x-2)^{2}+9\right]^{2}} \\ &=\int \frac{d y}{\left(y^{2}+9\right)^{2}}, \text { where } y=x-2 \\ &=-\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d\left(\frac{1}{y^{2}+9}\right) \quad \text{(By IBP)}\\ &--\frac{1}{2 y\left(y^{2}+9\right)}-\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}+9}\right) d y \\ &=-\frac{1}{2 y\left(y^{2}+9\right)}-\frac{1}{18} \int\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{y^{2}+9}\right) d y \\ &=-\frac{1}{2 y\left(y^{2}+9\right)}+\frac{1}{18 y}+\frac{1}{54} \tan ^{-1}\left(\frac{y}{3}\right)+C \\ &=\frac{y}{18\left(y^{2}+9\right)}+\frac{1}{54} \tan ^{-1}\left(\frac{y}{3}\right)+C \\ &=\frac{1}{54}\left(\frac{3(x-2)}{x^{2}-4 x+13}+\tan ^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) \right)+C \end{aligned}$

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

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