Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Question

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

cálculo
integración
Matemáticas
Integrales indefinidas

Arnav Mahajan

$F (X) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - {pecado}^{4} X}} d X$ $f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx$

Intenté esto rompiendo el denominador como $\sqrt{(\cos^2x)(1+\sin^2x)}$ y luego tratando de hacer la integral en formas de $\sec x$ y $\tan x$ . Pero no pude tener éxito.

Puede alguien por favor ayudarme?

Ty.

¿Hay algún límite?

Varun Vejalla

WolframAlpha pudo evaluar esto, aunque el resultado es confuso.

Varun Vejalla

Si conecta esto en la Calculadora integral y presiona "Mostrar pasos", obtendrá un recorrido bastante detallado.

Arnav Mahajan

@Ty. No, no hay límites.

zwim

@VVejalla No conocía este enlace, curiosamente brinda la solución humana donde otros CAS brindan una representación complicada o elíptica. Gracias.

Respuestas (2)

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

WolframAlpha pudo evaluar esto, aunque el resultado es confuso.
Si conecta esto en la Calculadora integral y presiona "Mostrar pasos", obtendrá un recorrido bastante detallado.
@VVejalla No conocía este enlace, curiosamente brinda la solución humana donde otros CAS brindan una representación complicada o elíptica. Gracias.

Ty. · Answer 1

I = \int \frac{segundo X}{\sqrt{1 + {pecado}^{2} X}} d X

$I=\int \frac{\sec{x}}{\sqrt{1+\sin^2{x}}} \; dx$ Multiplica arriba y abajo por

\sec x

$\sec{x}$ :

I = \int \frac{{segundo}^{2} X}{\sqrt{{broncearse}^{2} X + {segundo}^{2} X}} d X

$I=\int \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{\tan^2{x}+\sec^2{x}}} \; dx$

I = \int \frac{{segundo}^{2} X}{\sqrt{2 {broncearse}^{2} X + 1}} d X

$I=\int \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{2\tan^2{x}+1}} \; dx$ Dejar

u = \tan x

$u=\tan{x}$ :

I = \int \frac{d tu}{\sqrt{2 {tu}^{2} + 1}}

$I=\int \frac{du}{\sqrt{2u^2+1}}$ Dejar

t = u \sqrt{2}

$t=u\sqrt{2}$ :

I = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + 1}}

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}$ Dejar

t = \tan w

$t=\tan{w}$ :

I = \frac{\sqrt{2}}{2} \int segundo w d w

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \sec{w} \; dw$

I = \frac{\sqrt{2}}{2} en | segundo w + broncearse w | + C

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \ln {\big | \sec{w}+\tan{w} \big |}+C$

I = \frac{\sqrt{2}}{2} en | \sqrt{1 + 2 {broncearse}^{2} X} + \sqrt{2} broncearse X | + C

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \ln {\big | \sqrt{1+2\tan^2{x}}+\sqrt{2}\tan{x} \big |}+C$

Una forma "más simple" también puede ser $\frac 1{\sqrt{2}}\sinh^{-1}(\sqrt{2}\tan(x))$ .
Verdadero. Intento evitar la trigonometría hiperbólica porque, por lo general, nunca sé si OP está familiarizado con ella.
$\sqrt{\cos^2 x} \neq \cos x$ . $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$ , entonces deberías tener $|\sec x|$ en el numerador de tu primer integrando. Ha repetido esta omisión en la segunda línea cuando en realidad multiplicó por $|\sec x| / |\sec x|$ pero lo describió de otra manera.

zkutch · Answer 2

Tomando $t = \tan \frac{x}{2}$ y teniendo $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ llegamos a la función irracional.

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Arnav Mahajan

Ty.

Varun Vejalla

Varun Vejalla

Arnav Mahajan

zwim

Respuestas (2)

Ty.

zwim

Ty.

eric torres

zkutch

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

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