Evaluar la integral indefinida ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ derecha)\!dx

Integrar por partes:

$$x\log(x+\sqrt{x^2-1})-\int x\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}\,dx$$

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Ahora, ¿dónde vi$\log(x+\sqrt{x^2-1})$¿de nuevo? Colocar$x+\sqrt{x^2-1}=e^t$, entonces

$$x^2-1=e^{2t}-2xe^t+x^2$$ o $$2xe^t=e^{2t}+1$$ y $$x=\cosh t$$ Así que una buena sustitución podría ser esta, ¿no? La integral se convierte $$\int t\sinh t\,dt=t\cosh t-\int \cosh t\,dt=t\cosh t-\sinh t$$ y ahora es solo sustitución hacia atrás.

La computación muestra directamente que el integrando,

$$\log\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right),$$ es el inverso de (la restricción a $[0, \infty)$de) la función coseno hiperbólico $$\cosh u := \frac{e^u + e^{-u}}{2};$$ debido a esto, el integrando aquí generalmente se denota $$\text{arcosh x}.$$

Esto sugiere que podemos proceder de manera análoga a la derivación usual de las antiderivadas de funciones trigonométricas inversas: Sustituyendo$x = \cosh u$da

$$\int \text{arcosh } x \,dx = \int \text{arcosh} (\cosh u) \,d(\cosh u) = \int u \sinh u \,du.$$ Aplicando integración por partes con $v = u$, $dw = \sinh u \,du$da que esto es $$u \cosh u - \int \cosh u\,du = u \cosh u - \sinh u + C,$$ y sustituyendo al revés para escribir esto en términos de $x$rendimientos $$\text{arcosh } x \cosh (\text{arcosh } x) - \sinh(\text{arcosh } x) + C.$$

Sustituyendo$u = \text{arcosh x}$en la identidad familiar

$$\cosh^2 u = \sinh^2 u + 1,$$ simplificar, reorganizar y usar eso $\text{arcosh}$es no negativo (o, alternativamente, apelando al análogo hiperbólico de un triángulo de referencia) da la identidad $$\sinh (\text{arcosh } x) = \sqrt{x^2 - 1}.$$ Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene la antiderivada, $$\color{#bf0000}{\int \text{arcosh } x \,dx = x \,\text{arcosh } x - \sqrt{x^2 - 1} + C},$$ que en particular concuerda con el resultado dado por WolframAlpha.

Reconocer$\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=\cosh^{-1}x$y luego integrar por partes

$$\int\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)dx=\int \cosh^{-1}x\>dx = x \cosh^{-1}x-\int \frac x{\sqrt{x^2-1}}dx$$ donde la integral restante es solo$\sqrt{x^2-1}$.

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx$

$\displaystyle {we've got }: \; \fbox{ $ ch^{2}(y)-sh^{2}(y)=1,ch(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},sh(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ }\\$

$\displaystyle x=ch(y)\Rightarrow dx=sh(y)dy$

$\displaystyle ln(x+\sqrt{x^{2}-1})=ln(ch(y)+sh(y))=y$

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx =\int y \ sh({y})dy=\int ych'(y)dy$

${we've got }: \;\fbox{ $ \displaystyle \int fg'=fg-\int f'g $ }$

$\displaystyle \int y \ sh({y})dy=y \ ch({y})-\int ch(y)dy=y \ ch({y})-\ sh({y})+c$

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx=xch^{-1}(x) -\sqrt{x^{2}-1}+c$

$\displaystyle =xln(x+\sqrt{x^{2}-1})-\sqrt{x^{2}-1}+c$