Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Question

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

cálculo
integración
Matemáticas
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

Lee David Chung Lin

Veo en un libro de texto de cálculo que para $|A| \neq 1$ ,

F (X) \equiv \frac{1}{\sqrt{A^{2} - 1}} (X - 2 {broncearse}^{- 1} tu), tu \equiv \frac{pecado X}{A + \sqrt{A^{2} - 1} + porque X}

$f(x) \equiv \frac{1}{ \sqrt{A^2 - 1} } \left( x - 2 \tan^{-1} u \right)~, \qquad u \equiv \frac{ \sin x }{ A + \sqrt{A^2 - 1} + \cos x }$ rendimientos

\frac{d F (X)}{d X} = \frac{1}{A + porque X}

$\frac{\text{d}\, f(x)}{\text{d}\, x} = \frac{1}{A + \cos x}$ que he verificado que es cierto usando Mathematica.

Sin embargo, no he podido mostrar la equivalencia (hasta una constante) de este $f(x)$ con la forma más sensible obtenida por Mathematica (como se explica aquí) :

gramo (X) \equiv \int \frac{1}{A + porque X} d X = \frac{- 2}{\sqrt{1 - A^{2}}} {bronceado}^{- 1} (\frac{(A - 1) broncearse (\frac{X}{2})}{\sqrt{1 - A^{2}}})

$g(x) \equiv \int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x = \frac{-2}{\sqrt{1-A^2}} \tanh ^{-1}\left(\frac{(A-1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-A^2}}\right)$ Claramente, con la sustitución del medio ángulo se puede obtener el argumento

u

$u$ como en

f (x)

$f(x)$ arriba. Cómo obtener el término lineal y el arcotangente realmente me deja perplejo.

Parece razonable probar algunas identidades que involucran inversas como

{bronceado}^{- 1} (pecado X) = {pecado}^{- 1} (broncearse X), o equivalente {pecado}^{- 1} (bronceado X) = {broncearse}^{- 1} (pecado X)

$\tanh^{-1}(\sin x) = \sinh^{-1}(\tan x) \quad \text{, or equivalently} \quad \sin^{-1}( \tanh x ) = \tan^{-1}( \sinh x )$ junto con algunas formas comunes de combinar

\sin x

$~\sin x~$ y

\cos x

$~\cos x~$ , pero hasta ahora no llegué a ninguna parte.

Jean-Claude Arbaut

Si

A > 1

$A>1$ , el integrando es continuo en

R

$\Bbb R$ , por lo que una antiderivada debe ser también continua de

R

$\Bbb R$ . Este es un problema conocido con el

\tan (x / 2)

$\tan(x/2)$ cambio de variable. Y este es un problema conocido de los sistemas de álgebra computacional. Vea esto , y si tiene acceso al artículo vinculado en los comentarios, ¡échele un vistazo!

Lee David Chung Lin

@Jean-ClaudeArbaut ¡No puedo evitar preguntarme cuántos problemas conocidos de álgebra informática de los que no estoy al tanto! Gran información. Esa es una buena publicación por cierto.

Hizo

¿La respuesta aceptada a continuación aborda la pregunta? Mi impresión es que ni siquiera toca el problema de "equivalencia" que preguntas en el título y en el cuerpo. Por favor explique.

Lee David Chung Lin

@Tenías razón. Lo acepté únicamente por cortesía.

Hizo

Que extraña razón. En la práctica, aceptar una respuesta básicamente cierra la pregunta. En el presente caso, le impidió que alguien realmente respondiera la pregunta. Además, observo que recibió una respuesta después de 40 minutos y la aceptó 38 minutos después. Eso significa que limitó voluntariamente la exposición de su pregunta a un lapso de tiempo total de menos de 1,5 horas. Extraña elección.

Lee David Chung Lin

@ ¿Aprecié que se interesara en esta pregunta? Fue una elección reticente que tomé por las siguientes razones: (a) la mayoría de las publicaciones desaparecen muy pronto y tuve malas experiencias antes de esta publicación cuando esperaba que otras personas contribuyeran (b) en ese momento sentí que tal vez era mi malo que no formulé la pregunta para que otros puedan entender, mientras que para mí es bastante claro y no hay mucho que pueda mejorar (c) es solo una manipulación algebraica técnica para una integración y no es gran cosa. Respondieron bastante rápido (en una hora) y eso me indicó que...

Lee David Chung Lin

@Did ... se sintió muy convencido de esto. No quería presionarlo y parecer grosero, así que retrocedí.

$~~~~$ Sí, a partir de ahora todavía tengo un poco de curiosidad al respecto y estaría muy feliz de obtener una respuesta real a mi consulta original.

Lee David Chung Lin

@Did ...... so .... ¿Tienes una buena idea para esta pregunta? Si tiene ganas de publicar una respuesta pero ya he "aceptado" una, una especie de desmotivación por no otorgar el crédito adecuado, intentaré explicárselo a Claude Leibovici y haré lo impensable de "desmarcar" su respuesta.

Hizo

Con respecto a las matemáticas, su comentario de que "con la sustitución de medio ángulo se puede obtener el argumento

u

$u$ como en

f (x)

$f(x)$ arriba" apunta claramente en la dirección correcta. Es posible que haya pasado por alto el hecho de que una de las fórmulas se cumple para

| A | < 1

$|A|<1$ y el otro para

| A | > 1

$|A|>1$ por lo tanto, su equivalencia probablemente se deduce de la observación de que las líneas circulares evaluadas en

x

$x$ corresponden a las hiperbólicas evaluadas en

i x

$ix$ . Pero confieso no estar lo suficientemente interesado como para estudiar esto más a fondo.

Hizo

Con respecto al sitio en sí, parece que ha desarrollado un conjunto de creencias falsas sobre las formas correctas de comportarse aquí. Mi consejo sería compararlos con el contenido de algunas páginas sobre las formas en que se supone que funciona el sitio, "cómo preguntar" y cosas por el estilo. Para resumir lo que se explica allí, obtener respuestas matemáticamente correctas que realmente aborden la pregunta debe ser lo primero y más importante, siempre. En particular, se desaconseja explícitamente aceptar respuestas rápidas y no aceptarlas es un acto bastante banal, ciertamente no es el gran alboroto que usted hace que sea.

Lee David Chung Lin

@Did Gracias por el recordatorio. Sé que está abordando esta publicación, así como la otra publicación reciente (respuesta incorrecta) mía. Sí, a veces todavía me dejo llevar por la mentalidad de "puntuar" y me emociono, aunque en realidad he leído mucho sobre cuántas personas no les gusta stackExchange (especialmente stackOverflow) y prefieren, por ejemplo, Quora.

Respuestas (1)

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Si $A>1$ , el integrando es continuo en $\Bbb R$ , por lo que una antiderivada debe ser también continua de $\Bbb R$ . Este es un problema conocido con el $\tan(x/2)$ cambio de variable. Y este es un problema conocido de los sistemas de álgebra computacional. Vea esto , y si tiene acceso al artículo vinculado en los comentarios, ¡échele un vistazo!
@Jean-ClaudeArbaut ¡No puedo evitar preguntarme cuántos problemas conocidos de álgebra informática de los que no estoy al tanto! Gran información. Esa es una buena publicación por cierto.
¿La respuesta aceptada a continuación aborda la pregunta? Mi impresión es que ni siquiera toca el problema de "equivalencia" que preguntas en el título y en el cuerpo. Por favor explique.
Que extraña razón. En la práctica, aceptar una respuesta básicamente cierra la pregunta. En el presente caso, le impidió que alguien realmente respondiera la pregunta. Además, observo que recibió una respuesta después de 40 minutos y la aceptó 38 minutos después. Eso significa que limitó voluntariamente la exposición de su pregunta a un lapso de tiempo total de menos de 1,5 horas. Extraña elección.
@ ¿Aprecié que se interesara en esta pregunta? Fue una elección reticente que tomé por las siguientes razones: (a) la mayoría de las publicaciones desaparecen muy pronto y tuve malas experiencias antes de esta publicación cuando esperaba que otras personas contribuyeran (b) en ese momento sentí que tal vez era mi malo que no formulé la pregunta para que otros puedan entender, mientras que para mí es bastante claro y no hay mucho que pueda mejorar (c) es solo una manipulación algebraica técnica para una integración y no es gran cosa. Respondieron bastante rápido (en una hora) y eso me indicó que...
@Did ... se sintió muy convencido de esto. No quería presionarlo y parecer grosero, así que retrocedí. $~~~~$ Sí, a partir de ahora todavía tengo un poco de curiosidad al respecto y estaría muy feliz de obtener una respuesta real a mi consulta original.
@Did ...... so .... ¿Tienes una buena idea para esta pregunta? Si tiene ganas de publicar una respuesta pero ya he "aceptado" una, una especie de desmotivación por no otorgar el crédito adecuado, intentaré explicárselo a Claude Leibovici y haré lo impensable de "desmarcar" su respuesta.
Con respecto a las matemáticas, su comentario de que "con la sustitución de medio ángulo se puede obtener el argumento $u$ como en $f(x)$ arriba" apunta claramente en la dirección correcta. Es posible que haya pasado por alto el hecho de que una de las fórmulas se cumple para $|A|<1$ y el otro para $|A|>1$ por lo tanto, su equivalencia probablemente se deduce de la observación de que las líneas circulares evaluadas en $x$ corresponden a las hiperbólicas evaluadas en $ix$ . Pero confieso no estar lo suficientemente interesado como para estudiar esto más a fondo.
Con respecto al sitio en sí, parece que ha desarrollado un conjunto de creencias falsas sobre las formas correctas de comportarse aquí. Mi consejo sería compararlos con el contenido de algunas páginas sobre las formas en que se supone que funciona el sitio, "cómo preguntar" y cosas por el estilo. Para resumir lo que se explica allí, obtener respuestas matemáticamente correctas que realmente aborden la pregunta debe ser lo primero y más importante, siempre. En particular, se desaconseja explícitamente aceptar respuestas rápidas y no aceptarlas es un acto bastante banal, ciertamente no es el gran alboroto que usted hace que sea.
@Did Gracias por el recordatorio. Sé que está abordando esta publicación, así como la otra publicación reciente (respuesta incorrecta) mía. Sí, a veces todavía me dejo llevar por la mentalidad de "puntuar" y me emociono, aunque en realidad he leído mucho sobre cuántas personas no les gusta stackExchange (especialmente stackOverflow) y prefieren, por ejemplo, Quora.

Claudio Leibovici · Answer 1

Hay varias formas de calcular

I = \int \frac{d X}{A + porque X}

$I=\int \frac{dx}{A + \cos x}$ Usando la sustitución del medio ángulo tangente

t = \tan (\frac{x}{2})

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ , se reduce a

I = 2 \int \frac{d t}{(A - 1) t^{2} + (A + 1)} = \frac{2}{A - 1} \int \frac{d t}{t^{2} + \frac{A + 1}{A - 1}}

$I=2\int \frac{dt}{(A-1) t^2+(A+1)}=\frac 2{A-1}\int\frac{dt}{t^2+\frac{A+1}{A-1}}$ Entonces, ahora, usando

t = \sqrt{\frac{A + 1}{A - 1}} tu ⟹ I = \frac{2}{\sqrt{A - 1} \sqrt{A + 1}} {broncearse}^{- 1} (\frac{\sqrt{A - 1}}{\sqrt{A + 1}} t)

$t=\sqrt{\frac{A+1}{A-1}}u\implies I=\frac{2 }{\sqrt{A-1} \sqrt{A+1}}\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{A-1} }{\sqrt{A+1}}t\right)$ pero, como puede ver, podría haber algún problema dependiendo del valor de

A

$A$ . Si

A > 1

$A >1$ , creo que esta es la mejor forma de usar.

Si $A<1$ , el argumento de la tangente se convierte en un número imaginario pero podemos usar la identidad $\tan(i \theta)=i\tanh(\theta)$ y la segunda fórmula.

No es la mejor forma cuando $A>1$ , como se obtiene una función discontinua periódica, mientras que el integrando es continuo y positivo en $\Bbb R$ (entonces hay una antiderivada continua y creciente en $\Bbb R$ ). Vea mi comentario anterior :) Sin embargo, la forma más común de abordar tal integral, tal vez.
Dr. Leibovici, si todavía está presente, disculpe si necesito cancelar la aceptación de esta respuesta. La pregunta se publicó hace cinco años cuando comencé a usar este sitio y, como tal, cometí un error al aceptar su respuesta apresuradamente. Lea los comentarios debajo de la publicación de la pregunta, un diálogo entre Did y yo. Ahora necesito corregir este error mío. Si aún le preocupa lo suficiente este problema, puede editarlo y proporcionar una respuesta. De nuevo, sinceras disculpas.
Ahora a las matemáticas: aunque estoy de acuerdo con lo que dijiste sobre "... esta es la mejor forma para usar", descubrir cómo las dos formas se pueden derivar de una a la otra es en gran medida la investigación principal de la pregunta. correo.

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Jean-Claude Arbaut

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Hizo

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Claudio Leibovici

Jean-Claude Arbaut

Claudio Leibovici

Lee David Chung Lin

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Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

Integrar ∫sin(2x)(senx+cosx)2dx∫sin⁡(2x)(sin⁡x+cos⁡x)2dx\int \frac {\sin (2x)}{(\sin x+\cos x)^2 }\,dx

Cómo evaluar ∫tan3/2(x)1−sin(x)dx∫tan3/2⁡(x)1−sin⁡(x)dx\int \frac{\tan^{3/2}\left(x) \right)}{1 - \sin\left(x\right)} \,\mathrm{d}x?

Ayuda para evaluar ∫ cos2(arctan(sin(arccot(x)))) dx∫ cos2⁡(arctan⁡(sin⁡(arccot(x)))) dx\displaystyle\int\ \cos^2\Big(\arctan \big(\sin\left(\text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x

Integral ∫cos(x)+sin(2x)sin(x) dx∫cos⁡(x)+sin⁡(2x)sin⁡(x) dx\int \frac{\cos(x)+\sin(2x) }{\sin(x)}\text{ d}x

Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

Integrar ∫sin2xcos4xdx∫sin2⁡xcos⁡4xdx\int\sin^2x\cos4x\,dx

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

atascado al inicio del problema de integración