Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Question

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

cálculo
integración
Matemáticas
integrales definidas
Integrales indefinidas

Rodrigo Sambadé

Los jueces afirman que la forma cerrada de

\int_{0}^{\infty} \frac{{mi}^{3 X} - {mi}^{X}}{X ({mi}^{3 X} + 1) ({mi}^{X} + 1)} d X

$\int_0^\infty\frac{e^{3x}-e^x}{x(e^{3x}+1)(e^x+1)}\text{d}x$ es

\frac{log (3)}{2},

$\frac{\text{log}(3)}{2},$ aunque ninguna calculadora de Internet, excepto Wolfram|Alpha, encuentra una forma cerrada. WA devuelve ese resultado para esta integral.

¿Qué pasos hay que seguir para obtener este resultado? ¿Qué es la integral indefinida? El trabajo de ambos concursantes se puede ver en este video de YouTube .

JG

Esta es una integral de Frullani con

f (y) := \frac{1}{e^{y} + 1}, a := 1, b := 3

$f(y):=\frac{1}{e^y+1},\,a:=1,\,b:=3$ .

pedro

@JG esa es una respuesta. ¿Podrías por favor convertirlo en uno?

JG

@PedroTamaroff Listo.

Respuestas (2)

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Esta es una integral de Frullani con $f(y):=\frac{1}{e^y+1},\,a:=1,\,b:=3$ .
@JG esa es una respuesta. ¿Podrías por favor convertirlo en uno?

heroupup · Answer 1

Considere el integrando generalizado para $a > 0$

F (X; a) = \frac{{mi}^{a X} - {mi}^{X}}{X (1 + {mi}^{a X}) (1 + {mi}^{X})} .

$f(x;a) = \frac{e^{ax} - e^x}{x(1 + e^{ax})(1 + e^x)}.$ Entonces

\frac{\partial F}{\partial a} = \frac{{mi}^{a X}}{(1 + {mi}^{a X})^{2}} .

$\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{e^{ax}}{(1 + e^{ax})^2}.$ De este modo

I (a) = \int_{X = 0}^{\infty} F (X; a) d X

$I(a) = \int_{x=0}^\infty f(x;a) \, dx$ satisface

I^{'} (a) = \int_{X = 0}^{\infty} \frac{\partial F}{\partial a} d X = {[- \frac{1}{a (1 + {mi}^{a X})}]}_{X = 0}^{\infty} = \frac{1}{2 a},

$I'(a) = \int_{x=0}^\infty \frac{\partial f}{\partial a} \, dx = \left[ - \frac{1}{a(1 + e^{ax})} \right]_{x=0}^\infty = \frac{1}{2a},$ entonces

I (a) = \frac{registro a}{2} + C

$I(a) = \frac{\log a}{2} + C$ por alguna constante

C

$C$ satisfactorio

I (1) = 0

$I(1) = 0$ , desde

f (x; 1) = 0

$f(x;1) = 0$ . Resulta que

C = 0

$C = 0$ y la integral buscada es

I (3) = \frac{registro 3}{2} .

$I(3) = \frac{\log 3}{2}.$

JG · Answer 2

Esta es una observación similar a la respuesta existente de @heropup, pero como solicitó @PedroTamaroff, anotaré en una respuesta que, dado que

\frac{{mi}^{3 y} - {mi}^{y}}{({mi}^{y} + 1) ({mi}^{3 y} + 1)} = \frac{({mi}^{3 y} + 1) - ({mi}^{y} + 1)}{({mi}^{y} + 1) ({mi}^{3 y} + 1)} = \frac{1}{{mi}^{y} + 1} - \frac{1}{{mi}^{3 y} + 1},

$\frac{e^{3y}-e^y}{(e^y+1)(e^{3y}+1)}=\frac{(e^{3y}+1)-(e^y+1)}{(e^y+1)(e^{3y}+1)}=\frac{1}{e^y+1}-\frac{1}{e^{3y}+1},$ esta es una integral de Frullani con

f (y) := \frac{1}{e^{y} + 1}, a := 1, b := 3

$f(y):=\frac{1}{e^y+1},\,a:=1,\,b:=3$ , Asi es

\frac{1}{2} \ln 3

$\frac12\ln3$ porque

f (0) = \frac{1}{2}, f (\infty) = 0

$f(0)=\frac12,\,f(\infty)=0$ .

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Rodrigo Sambadé

JG

pedro

JG

Respuestas (2)

heroupup

JG

Teorema fundamental de la pregunta de cálculo (área bajo la curva)

¿Qué tan mal está? - Una "prueba" de la FTC que se me ocurrió en la escuela secundaria agitando la mano.

¿El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integración es el 'opuesto' de la diferenciación?

(Desacuerdo entre usuarios acreditados) Integral indefinida vs. Integral definida vs. Anti-derivada

Problema con la definición de la integral indefinida

Ayuda a entender lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo

Integración indefinida por partes

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}