¿Cómo puedo integrar ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx }?

Sacar$e^x$del numerador y el denominador de la siguiente manera

$$\int\dfrac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \ dx=\int\dfrac{e^x(e^{x}-e^{-x})}{\sqrt{e^{2x}(e^{x}+e^{-x})} } dx$$ $$=\int\dfrac{e^x(e^{x}-e^{-x})}{e^x\sqrt{e^{x}+e^{-x}} } dx$$ $$=\int\dfrac{(e^{x}-e^{-x})dx}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}} }$$ $$=\int\dfrac{d(e^{x}+e^{-x})}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}} }$$ $$=2\sqrt{e^{x}+e^{-x}}+C$$

Utilicé los mismos pasos que seguiste, pero me detuve en

$$I=\int \left(1-\cot ^2(\theta )\right) \sec (\theta )\sqrt{\tan (\theta )}\, d\theta$$ Reescríbelo como $$I={\displaystyle\int}\dfrac{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}{\cos^\frac{3}{2}\left(\theta\right)\sin^\frac{3}{2}\left(\theta\right)}\,d\theta$$ Ahora $$u=\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)\implies du=\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\implies d\theta=\dfrac{du}{\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)}$$ $$I=\int\dfrac{du}{u^\frac{3}{2}}u==-\dfrac{2}{\sqrt{u}}+C$$ De regreso$\theta$ $$I=\frac 2{\sqrt{\sin(\theta)\cos(\theta)}}=\frac {2\sqrt 2}{\sqrt{\sin(2\theta)}}+C$$

$$\int\!\dfrac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x}}\mathop{dx} =\int\!\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}}}\mathop{dx} =\int\!\dfrac{2\sinh x}{\sqrt{2\cosh x}}\mathop{dx} =2\sqrt{2\cosh x} + C = 2\sqrt{e^{x}+e^{-x}} + C$$

Estás en el camino correcto. Puedes continuar desde aquí

$$=\int(\cot^{-3/2}\theta-\sqrt{\cot\theta} )\csc\theta d\theta$$ Sustituto$\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$&$\csc\theta=\frac1{\sin\theta}$

$$=\int\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\sqrt{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}-\sqrt{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}} \right)\frac1{\sin\theta} d\theta$$ $$=\int\left(\frac{\sin^2\theta-\cos^2\theta}{\cos\theta\sqrt{\sin\theta\cos\theta}} \right)\frac1{\sin\theta} d\theta$$

$$=\int\frac{\left( \frac{1}{\cos^2\theta}-\frac{1}{\sin^2\theta}\right)}{\sqrt{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}}d\theta$$ $$=\int\frac{( \sec^2\theta-cosec^2\theta)}{\sqrt{\tan\theta+\cot\theta}}d\theta$$ Dejar$\tan\theta+\cot\theta=t\implies (\sec^2\theta-cosec^2\theta)\ d\theta=dt$ $$=\int \frac{dt}{\sqrt {t}}$$ $$=2\sqrt {t}+C$$ Sustituto$t=\tan\theta+\cot\theta$ $$=2\sqrt {\tan\theta+\cot\theta}+C$$ Sustituto$\tan\theta=e^x$ $$=2\sqrt {e^x+e^{-x}}+C$$ Alcanzó la respuesta. ¡Salud!

$$\int\dfrac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } dx$$

$$=\int\dfrac{e^x(e^{x}-\frac{1}{e^x})}{\sqrt{e^{2x}(e^{x}+\frac1 {e^x})} } dx$$

$$=\int\dfrac{(e^{x}-e^{-x})}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}} } dx$$

sustituto$e^x+e^{-x}=u$,$(e^x-e^{-x})dx=du$,

$$=\int\frac{du}{\sqrt{u}}$$

$$=\frac{u^{-\frac12+1}}{-\frac12+1}$$

$$=2\sqrt{u}+c$$

$\displaystyle\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^{x}}}dx=\int\frac{e^{-x}(e^{2x}-1)}{\sqrt{e^{-2x}(e^{3x}+e^{x})}}dx=\displaystyle\int\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sqrt{e^{x}+e^{-x}}}dx$

$\displaystyle z=e^{x}+e^{-x}\Rightarrow dz=(e^{x}-e^{-x})dx$

$\displaystyle\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^{x}}}dx=\int\frac{dz}{\sqrt{z}}=2\sqrt{z}+c$

$\displaystyle\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^{x}}}dx=2\sqrt{e^{x}+e^{-x}}+c$