¿Cuál es la explicación de la relatividad general de por qué los objetos en el centro de la Tierra no tienen peso?

La geometría del espacio-tiempo se describe mediante una función llamada tensor métrico . Si está comenzando a aprender GR, en cualquier momento encontrará la métrica de Schwarzschild que describe la geometría fuera de un cuerpo simétrico esféricamente. Cuando ingresa al cuerpo, la geometría se describe mediante la (menos conocida) métrica interior de Schwarzschild.

La forma exacta de la métrica interior depende de cómo cambia la densidad del cuerpo esférico con la profundidad, por lo que para los objetos reales tiene una forma bastante complicada. Sin embargo, para un cuerpo con densidad constante, se simplifica un poco y se ve así:

$$ds^2 = -\left[\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right]^2dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2Mr^2}{R^3}\right)} + r^2 d\Omega^2 \tag{1}$$

en esta ecuacion$r$es la distancia desde el centro del objeto con masa$M$, y$R$es el radio del objeto. Así que esta métrica se aplica para$r \le R$.

Si ignoras la relatividad por un momento y consideras solo la gravedad newtoniana, entonces la aceleración radial de un objeto cerca de un cuerpo esférico es:

$$a = \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2}$$

En GR la situación es bastante más complicada (lo que estoy seguro no sorprende) pero podemos definir una cantidad análoga llamada cuatro aceleraciones . En particular, queremos que la componente radial$d^2r/d\tau^2$. Aunque se parece a la aceleración newtoniana de arriba, es la segunda derivada con respecto al tiempo propio . $\tau$no la coordenada de tiempo$t$.

Obtenemos las cuatro aceleraciones usando la ecuación geodésica:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\tau} {dx^\beta \over d\tau}$$

donde el$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$se denominan símbolos de Christoffel (del segundo tipo) y dependen de la curvatura del espacio-tiempo. Todo esto parece bastante complicado, pero para objetos esféricamente simétricos, todos menos uno de los dieciséis términos en el lado derecho son cero y la aceleración radial cuatro de un objeto estacionario es simplemente:

$$\frac{d^2r}{d\tau^2} = - \Gamma^r_{tt} u^t u^t \tag{2}$$

Esta es la ecuación que nos dice cómo varía la aceleración (cuatro) con la profundidad, y podemos usarla para mostrar que no tienes peso en el centro del objeto. La ecuación (2) irá a cero si$u^t$se convierte en cero o$\Gamma^r_{tt}$se convierte en cero. La cantidad$u^t$es el componente de tiempo de la velocidad de cuatro , que se puede considerar como el factor de dilatación del tiempo. esto es simplemente$dt/d\tau$por constante$r$,$\theta$y$\phi$, y lo obtenemos de la métrica (1) simplemente configurando$dr = d\theta = d\phi = 0$dar:

$$ds^2 = -\left[\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right]^2dt^2$$

Ya que$ds^2 = -d\tau^2$un reordenamiento simple da:

$$u^t = \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}}$$

Notemos que esto no llega a cero como$r \rightarrow 0$, y pasar rápidamente a ver el otro término$\Gamma^r_{tt}$. Calcular esto implica un álgebra dolorosa, pero Mathematica es bueno en este tipo de cosas y Danu usó Mathematica para hacer el cálculo por mí. El resultado es:

$$\Gamma_{tt}^r= \frac{r}{2R^6}\left[2M^2r^2+MR^3\left(3\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\sqrt{1-\frac{2M}{R}}-1\right)\right]$$

Otra expresión diabólicamente complicada, pero tenga en cuenta que todo se multiplica por$r/2R^6$y eso significa que si$r = 0$toda la expresión complicada es simplemente cero.

¡Y ahí está nuestro resultado!

Cuándo$r = 0$el símbolo de Christoffel$\Gamma_{tt}^r$es cero y eso significa que la aceleración radial de cuatro es cero y eso significa que no tienes peso.

La explicación es el teorema de Birkhoff, que establece que la solución de Schwarzschild es la única solución de vacío esféricamente simétrica en la relatividad general. Un resultado inmediato de esto es que, al igual que en la gravedad newtoniana, una capa esférica no contribuye a la gravedad experimentada por un objeto dentro de ella. Si esto fuera de otro modo, sugeriría la existencia de soluciones de vacío esféricamente simétricas que no sean de Schwarzschild.

Si consideramos la Tierra como una serie de capas concéntricas esféricamente simétricas, entonces para un objeto que cae hacia el centro, solo necesita considerar la masa contenida dentro de la esfera con un radio que es igual a la distancia del objeto al centro. .

La segunda derivada de la coordenada radial de Schwarzschild de un objeto que cae radialmente con respecto a su tiempo propio es:

$$\frac{d^2r}{d\tau ^2} = -\frac{GM}{r^2}$$

Si la densidad de la Tierra es constante, entonces dentro de la Tierra la masa contenida dentro de cualquier capa es:

$$M = \frac{4}{3} \rho \pi r^3$$

Por lo tanto para un objeto dentro de la Tierra:

$$\frac{d^2r}{d\tau ^2} = -\frac{4}{3} G\rho \pi r$$

Y el 'tirón' hacia el centro que experimenta disminuye linealmente con la distancia al centro.

Ver el espacio-tiempo como más o menos curvo en un punto puede ser problemático, pero en cierto sentido, la curvatura del espacio-tiempo se vuelve menos curva para un observador dentro de la Tierra a medida que se acerca al centro.

En esta respuesta asumimos un espacio-tiempo esféricamente simétrico, sin constante cosmológica$\Lambda=0$y convención de firmas$(-,+,+,+)$para la métrica.

I) El teorema de Birkhoff (BT) solo funciona para una rama de vacío de un espacio-tiempo esféricamente simétrico, es decir, en un intervalo radial$r_1<r<r_2$ sin ningún asunto, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Por lo tanto, BT se aplicaría a un planeta hueco , cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Lo más importante, la declaración de shell newtoniana

$$\text{A spherical shell does not contribute to the gravity}$$ $$\tag{1}\text{experienced by an object within it.}$$

(tomado de la respuesta de John Davis) solo es válido en GR si no hay presión$p=0$entre la coraza y el interior. (La declaración (1) se cumple en la gravedad newtoniana, debido al teorema de la capa de Newton . Consulte también esta publicación de Phys.SE).

II) Sin embargo, aquí estamos interesados ​​en un planeta masivo con presión$p>0$, de radio$R$. Como veremos, en tales situaciones no podemos usar BT. Para continuar, debemos ante todo introducir un tensor de tensión-energía-momento (SEM) distinto de cero$T^{\mu\nu}$por la materia del planeta, que actúa como término fuente en la EFE . Para un planeta estático, esféricamente simétrico, el EFE conduce a la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . Supongamos, por simplicidad en esta respuesta, que el sistema es un fluido perfecto de densidad uniforme .$\rho_0$. El tensor SEM luego lee

$$\tag{2} T^{\mu\nu}~=~ \left(\rho_0 + \frac{p(r)}{c^2}\right)U^{\mu}U^{\nu} +p(r)g^{\mu\nu}.$$

El tensor métrico correspondiente ya fue encontrado por Schwarzschild en 1916, cf. Árbitro. 1-3 y la respuesta de John Rennie. La métrica es de la forma

$$\tag{3} ds^2 ~=~g_{\mu\nu}~dx^{\mu}~dx^{\nu} ~=~ - \exp\left[ \frac{2\Phi(r)}{c^2}\right] (c~dt)^2 + \frac{(dr)^2}{h(r)}+r^2d\Omega^2, \quad r~<~R.\qquad$$

En el$g_{rr}$-componente de la métrica (3), la función de estructura

$$\tag{4} h(r)~:=~ 1-\frac{r_S}{R^3} r^2~=~1-\frac{a}{c^2} r^2, \qquad a~:=~\frac{8\pi G\rho_0}{3} ,$$

tiene una dependencia cuadrática de la coordenada radial$r$, donde

$$\tag{5} r_S ~:=~ \frac{2GM}{c^2}, \qquad M~:=~\frac{4\pi}{3}R^3\rho_0,$$

es el radio de Schwarzschild . Para asegurar eso$h(r)>0$, debemos imponer$r_S/R <1$, es decir, el planeta no es un agujero negro.

III) La presión correspondiente es

$$\tag{6} p(r)~=~ \rho_0c^2 \frac{\sqrt{h(r)} -\sqrt{h(R)}}{3\sqrt{h(R)} -\sqrt{h(r)}} .$$

Para que el denominador del perfil de presión (6) permanezca positivo, debemos imponer la interesante desigualdad

$$\tag{7} \frac{r_S}{R} ~<~\frac{8}{9} \qquad\Leftrightarrow\qquad \forall r~\in~[0,R]:~ 9h(R)~>~h(r) .$$

IV) En el$g_{tt}$-componente de la métrica (3), la función de estructura

$$\Phi(r)~=~c^2\ln\left(\frac{3}{2} \sqrt{h(R)} - \frac{1}{2} \sqrt{h(r)}\right)$$ $$\tag{8}~=~ \frac{a}{4}\left(r^2-3R^2\right) +\frac{a^2}{32c^2}\left(r^4+6r^2R^2-15R^4\right) +{\cal O}(c^{-4})$$

se convierte en el potencial newtoniano en el límite newtoniano$c\to \infty$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. (El potencial electrostático correspondiente se da en mi respuesta Phys.SE aquí ).

V) Como se explica en la respuesta de John Rennie, la aceleración se rige por el símbolo de Christoffel

$$\tag{9} \Gamma^r_{tt}~=~-\frac{1}{2}g^{rr} \partial_r g_{tt} ~=~ \frac{r_S r}{4R^3} \left(3\sqrt{h(R)}\sqrt{h(r)} -h(r) \right),$$

que se desvanece en el centro$r=0$, cf. Pregunta del título del OP

$$\tag{10} \text{Why are objects at the center of the Earth weightless?}$$

En realidad, la pregunta del título (10) se deriva solo de la simetría esférica, independientemente de la teoría subyacente: una aceleración$3$-vector en el centro$r=0$rompe la simetría esférica a menos que sea cero!

VI) Volviendo al enunciado (1), la estructura función$h(r)$en la ec. (4) ciertamente obedece a la filosofía del enunciado (1), pero$h(R)$no lo hace Para una coordenada radial dada$r<R$, la función$h(R)$también se refiere a las partes de masa más allá$r$. Mirando la dependencia no trivial de$h(R)$en ecs. (6), (8) y (9), concluimos que el enunciado (1) no se cumple en este caso.

Comparemos con la gravedad newtoniana. En la gravedad newtoniana, el potencial$\Phi(r)$ depende de la distribución en masa más allá$r$, pero solo a través de una constante aditiva. (La constante aditiva se ajusta de modo que$\Phi(r)=0\Leftrightarrow r=\infty$porque asumimos un espacio-tiempo asintóticamente plano .) Así que si diferenciamos$\Phi(r)$y considere la aceleración gravitacional$g(r)$en cambio, no dependerá de la distribución en masa más allá$r$, y por lo tanto obedecen la declaración (1).

TL; DR: La declaración (1) ya no es cierta en GR si hay presión$p>0$regalo.

Referencias:

1. K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einstein'schen Theorie, Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (1916) 424.

2. MTW ; Sección 23.7.

3. R. Wald, GR, 1984; Sección 6.2.

¿Cuál es la explicación de la relatividad general de por qué los objetos en el centro de la tierra no tienen peso?

En ese lugar, el espacio-tiempo es localmente plano.

Consulte el artículo sobre el tensor de curvatura de Riemann en Wikipedia y observe el esquema de la derecha:

_{Imagen de CCASA por Johnstone, ver Wikipedia}

Imaginemos que pudiéramos quitar la Tierra y mirar más de cerca. Debajo de la Tierra, hay una pequeña porción de espacio-tiempo que no se curva hacia arriba. Puede verlo mejor en este diagrama de potencial gravitacional (newtoniano) en Wikipedia :

_{Imagen de CCASA por AllenMcC, ver Wikipedia}

Creo que la idea de que a medida que te mueves por la tierra obtienes una cancelación simétrica de la aceleración gravitacional que se aproxima a la aceleración cero debido a la gravedad en el centro de la tierra tiene mucho sentido. También creo que es una idea bastante fácil de entender físicamente.

No creo que nadie discuta con eso.

Por otro lado, recién estoy comenzando a estudiar y comprender la explicación relativista general de la gravedad y me pregunto cómo se explica esta misma idea usando la relatividad general. Es decir, ¿cuál es la explicación de por qué la aceleración gravitatoria disminuye (linealmente si no me equivoco) a medida que te acercas al centro de la tierra usando la relatividad general?

No es realmente diferente a la explicación no relativista. Una concentración de energía bajo la apariencia de un cuerpo masivo condiciona el espacio circundante, alterando sus propiedades métricas, que se modelan como un espacio-tiempo curvo. Vea a Einstein hablando de ello en los documentos digitales . Entonces, si estás entre dos cuerpos masivos, este efecto es el mismo en ambos lados, por lo que no hay un efecto neto. Estar en el centro de la Tierra es como estar rodeado de muchos cuerpos masivos.

Específicamente, me gustaría entender qué está pasando con la curvatura del espacio-tiempo en este escenario. ¿Se está volviendo menos curvo? ¡Se agradecería algo de matemáticas en las respuestas!

Sospecho que el problema subyacente aquí es una ambigüedad con respecto a plano como nivelado y plano como no curvo. Mira la trama. La curvatura que puedes ver es espacio-tiempo curvo. En general, la curvatura aumenta a medida que te acercas al centro, razón por la cual la gente habla del "régimen de curvatura fuerte" en el contexto de los agujeros negros. Siga la gráfica y observe los puntos de inflexión, y podrá ver que aumenta, luego disminuye y luego aumenta. Sin embargo, es muy importante apreciar que esta curvatura se relaciona con la fuerza de marea. La pendiente de la parcela se relaciona con la fuerza de la gravedad. La fuerza de la gravedad depende de la "inclinación del espacio-tiempo" en ese lugar, no de la curvatura. Vea los conos de luz inclinados en este artículo de Stanford. En el centro de la Tierra, hay una pequeña parte de la parcela donde no hay pendiente. En ese lugar, el espacio-tiempo es localmente plano y nivelado, por lo que no hay gravedad.

Tenga en cuenta que si no hay ninguna curvatura en su gráfico, no puede pasar de plano y horizontal en el centro a inclinado. Por lo tanto, el espacio-tiempo curvo es la "característica definitoria" de un campo gravitacional.