¿Son relevantes la métrica de Schwarzschild y la Ecuación Geodésica en el contexto de la Tierra? [cerrado]

La ecuación geodésica utilizada en la relatividad general es la siguiente:

d 2 X m d s 2 = − Γ m α β d X α d s d X β d s .
Establece que la aceleración de la partícula de prueba es una función de la métrica (símbolo de Chistoffel) y la derivada de coordenadas con respecto a "un parámetro escalar de movimiento s ej .: tiempo propio".

Además, la página de Wikipedia sobre la métrica de Schwarzschild establece lo siguiente: "[...] [la métrica de Schwarzschild] es la solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitatorio fuera de una masa esférica, suponiendo que la carga eléctrica de la la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son todos cero". y la métrica es la siguiente:

C 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ) C 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 d Ω 2

Suponiendo que todas estas condiciones sean ciertas, ¿se aplica la métrica de Schwarzschild al contexto de una partícula en la vecindad del campo gravitatorio de la Tierra? Si es así, ¿puede dar un ejemplo?

Si, por alguna razón, la métrica en cuestión no se aplica al contexto de la Tierra, ¿por qué no?

Esta es una buena pregunta, pero probablemente debería reestructurarse un poco, ya que está fuera de tema debido a la política de preguntas tipo tarea .
No estoy seguro de cuál es la pregunta: presenta todas las suposiciones que se necesitan para Schwarzschild y luego pregunta "suponiendo que todas estas condiciones sean ciertas, ¿se aplica la métrica de Schwarzschild"? Y, por supuesto, se aplica, porque simplemente lo asumió. ! ¿Está preguntando si las suposiciones son una buena aproximación para las condiciones alrededor de la Tierra?

Respuestas (1)

Sí, la métrica de Schwarzschild describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de la Tierra, y describo cómo usar la ecuación geodésica para describir los objetos que caen en la gravedad de la Tierra en ¿ Cómo explica el "espacio curvo" la atracción gravitacional? .

Un ejemplo de cómo la métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio de la Tierra es la dilatación del tiempo de los satélites GPS . Estrictamente hablando, dado que la Tierra está girando, el espacio-tiempo a su alrededor se describe mediante la métrica de Kerr en lugar de la métrica de Schwarzschild, aunque la diferencia es tan pequeña que apenas se detecta. Un ejemplo de esto es la medición del efecto Lens-Thirring por el satélite Gravity Probe B , aunque creo que el jurado está deliberando sobre si GPB realmente logró medir el efecto Lens-Thirring o no.

Si no recuerdo mal (e hice los números correctamente...) la Tierra solo puede ser descrita muy, muy asintóticamente por Kerr. Es fácil de comprobar: si Jc/(GM^2) es menor que 1, todo está bien. Pero para los valores de la Tierra, terminas con una solución de Kerr supercrítica. El gravito-magnetismo, es decir, la aproximación de campo débil funciona, pero gracias a la falta del teorema de Birkhoff, las cosas son mucho más complicadas que "Kerr describe la Tierra mejor que Schwarzschild"... :(
El radio de la Tierra sigue siendo mucho mayor que su radio gravitacional, por lo que la descripción asintótica con Kerr funciona bien.
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