Guión
Supongamos que existe una tecnología avanzada que hipotéticamente puede transportar humanos vivos para estudiar el centro de la Tierra, a medida que se adentran más bajo tierra, la mayor parte de la masa de la Tierra estaría sobre ellos y, por lo tanto, la gravedad parecerá más ligera.
Pregunta
Q1. No sé si se pueden aplicar las leyes de la gravedad de Newton cuando una masa pequeña está dentro de una masa grande, ¿alguna solución?
Q2. Según la relatividad general el efecto de la dilatación del tiempo es más prominente a medida que aumenta la gravedad, en este escenario ¿cómo envejecerá el aventurero?
En primer lugar, el campo gravitatorio en el interior de la Tierra disminuye con la profundidad.
En una primera aproximación, puede usar el teorema de la capa para distribuciones de masa esféricamente simétricas para argumentar que el campo gravitacional a cierta profundidad se debe solo a la masa encerrada dentro de una esfera interior a esa profundidad. Si además hacemos la cruda suposición de que la densidad de la Tierra es constante, obtenemos un resultado simple:
Aunque esta es una aproximación burda, predice correctamente que la gravedad finalmente se vuelve más débil hacia el centro y es aproximadamente cero en el centro. (Editar: tenga en cuenta que un perfil de densidad más preciso tiene la gravedad bastante constante hasta que alcanza el núcleo en un radio de 3500 km, seguido de una disminución pseudolineal a cero en el centro).
En segundo lugar, a pesar de que el campo se debilita, el potencial gravitacional sigue siendo más profundo. La dilatación del tiempo gravitacional funciona de la siguiente manera. Un observador más alejado del pozo de potencial observará que un reloj en un potencial gravitatorio más fuerte (más negativo) funciona más lentamente, y viceversa. En este caso, el observador cerca del núcleo está más profundo en el potencial. Si alguien viaja al núcleo y luego regresa, su reloj habrá ido más lento en comparación con uno en la superficie.
El tamaño del efecto es pequeño para el pozo de potencial de la Tierra (aproximadamente 350 picosegundos perdidos por segundo gastado en el núcleo), pero el efecto es similar en tamaño al que se corrige en los relojes atómicos utilizados por los satélites GPS en órbita alrededor la Tierra, que se encuentran en una región de potencial más bajo (menos negativo) que un reloj en la superficie.
Q1. En el caso de una distribución esférica uniforme, no puedes sentir nada más alejado del centro de lo que estás. Esto se deriva directamente de la ley de Gauss para la gravedad. En el centro no sientes ninguna fuerza gravitacional neta de la tierra en absoluto. Piénselo de esta manera: la tierra lo está empujando hacia arriba desde todas las direcciones exactamente de la misma manera, por lo que todas las fuerzas se cancelan.
Q2. El campo gravitatorio de la Tierra no está cerca de un agujero negro, por lo que el efecto de dilución del tiempo es muy pequeño. Puede hacer un dispositivo muy preciso para medir el efecto, pero un ser humano no podrá notar ninguna diferencia significativa.