¿Por qué la teoría general de la relatividad de Einstein no parece funcionar en la Tierra?

La respuesta corta: los efectos relativistas generales en su mayoría no se notan en una escala tan pequeña (excepto en algunos casos). Por ejemplo, una forma común de caracterizar la fuerza de un campo gravitatorio es a través del número adimensional:

$$A=\frac{GM}{Rc^2}$$ dónde$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ }\mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$es la constante gravitacional,$M$es la masa,$R$es la distancia al objeto, y$c=2.99\times 10^8\text{ m/s}$es la velocidad de la luz. Por estar directamente al lado de un elefante africano de sabana: $$A \approx 10^{-24}$$ Para la Tierra:$A \approx 10^{-9}$y hasta para el sol,$A \approx 10^{-6}$. Generalmente, cuando$A \ll 1$los efectos son prácticamente insignificantes. De hecho, la mayor parte de la física que describe el movimiento planetario en nuestro sistema solar se puede describir con precisión con la física newtoniana estándar. Sin embargo, hay algunos casos extremadamente delicados (p. ej., la órbita de Mercurio/comunicación por satélite) en los que debemos tener en cuenta la relatividad general.

Solo a modo de comparación, un agujero negro (usando el radio de Schwarzschild) da un valor de$A=0.5$, que es mucho más fuerte que el significado de nuestro Sol, definitivamente tendremos que tener en cuenta la relatividad general.

Por supuesto que funciona en la tierra. Solo considera estos hechos:

• La Relatividad General también describe/abarca la gravedad 'estándar'. Solo de una manera un poco demasiado complicada.
• Las cosas 'lanzadas al aire', así como los satélites, siguen exactamente las líneas 'rectas' (también conocidas como geodésicas) de la relatividad general.
• El sistema GPS necesita tener en cuenta los efectos relativistas generales para lograr su precisión.
• Ha habido experimentos de transporte de relojes en aviones que confirmaron exactamente la relatividad general.

Claro, no es tan dramático como se muestra en los documentales, pero a menudo en la ciencia lo espectacular se esconde en los detalles.

Funciona bastante. Simplemente vivimos en un entorno donde la aproximación newtoniana del GR es lo suficientemente buena.

Usamos la aproximación newtoniana

1. por la tradición,
2. porque es mucho, mucho menos complicado con las matemáticas, y
3. porque los resultados de la aproximación tienen una precisión aceptable

En cuanto a por qué los elefantes no hacen que los objetos orbiten alrededor de ellos:

primero, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere .

Para abreviar: los elefantes en el caso general están en la esfera de la Colina de la Tierra y es la Tierra aquí la que más distorsiona el espacio-tiempo. Si desea que un objeto del tamaño de un elefante tenga sus propios satélites, debe colocarlo en algún lugar lejos de la Tierra, de modo que su esfera Hill sea más grande que el objeto en sí.

segundo, el aire. El aire está interactuando con todo lo que intenta orbitar la Tierra de una manera bastante fuerte. Debido al aire, cada órbita kepleriana se convierte en una curva balística y el objeto va a la superficie de la Tierra donde la interacción es aún más fuerte que en el aire.

En lugar de la curvatura del espacio-tiempo, es mejor pensar en un sistema de coordenadas diferente.

Por ejemplo, si alguien está a 1 km del Polo Norte, toda la tierra (o hielo) hasta el horizonte en todas direcciones (un radio de unos 5 km) puede quedar aproximadamente por una superficie plana.

Aun siendo llano, durante cualquier trayectoria en línea recta, excepto si es radial al polo, la ruta no es constante, si por ruta entendemos una dirección dada ($221^\circ$por ejemplo, cuando$0^\circ$es dirección norte. Es una consecuencia del uso de coordenadas polares. Pero cuando los cálculos se corrigen por el efecto de esas coordenadas curvilíneas (derivada covariante), muestran una velocidad recta constante.

De manera similar, en nuestra experiencia diaria de una constante$g$(espacio-tiempo aproximadamente plano), cualquier objeto que cae tiene una velocidad no uniforme en nuestras coordenadas de espacio y tiempo (y también de acuerdo con nuestros sentidos en este caso). Pero también sigue una velocidad constante recta, en el sentido de que la derivada covariante de la velocidad es cero.

O simplemente, ¿cómo funciona la curvatura del espacio-tiempo dentro de un planeta?

La curvatura del espacio-tiempo es muy observable en la Tierra. De hecho, si el espacio-tiempo no fuera curvo, los objetos imperturbables seguirían líneas rectas en el espacio-tiempo, en otras palabras, se moverían con velocidades constantes; pero los objetos liberados sobre la superficie de la Tierra se desvían muy visiblemente de eso, exhibiendo una aceleración hacia el planeta.

En cuanto a los fenómenos en la Tierra que pueden explicarse por GR pero no por la gravedad newtoniana, ahora podemos hacer relojes tan tremendamente precisos que podemos usar la dilatación del tiempo gravitacional para usarlos como dispositivos de medición de elevación glorificados.

Los elefantes tienen energía de estrés y crean una curvatura del espacio-tiempo.

Aquí en la Tierra en las escalas pequeñas, las otras fuerzas (EM, débil, fuerte) dominan sobre la gravedad.

Aún así, podrías preguntarte qué pasaría si pones un elefante en el espacio (gravedad cero) y le pones polvo alrededor. ¿El polvo será atraído gravitacionalmente hacia el elefante? Sí lo hará. Así es como originalmente los cuerpos celestes comenzaron a formarse a partir del polvo.

En astrofísica, la acreción es la acumulación de partículas en un objeto masivo al atraer gravitacionalmente más materia, típicamente materia gaseosa, en un disco de acreción.[1][2] La mayoría de los objetos astronómicos, como galaxias, estrellas y planetas, se forman por procesos de acreción.

https://en.wikipedia.org/wiki/Accretion_(astrofísica)

Ahora bien, ¿por qué no vemos el mismo efecto aquí en la Tierra de un elefante que tiene una atracción gravitacional visible sobre el polvo que lo rodea? Es porque aquí en la Tierra, la curvatura del espacio-tiempo está dominada por el campo gravitatorio de la Tierra y apunta hacia el centro de la Tierra. El polvo se mueve (sin tener en cuenta la atmósfera) hacia el centro de la Tierra.

Los efectos a escala humana normalmente son demasiado pequeños para ser medidos, pero suceden.

La dilatación del tiempo se ha medido utilizando dos relojes precisos, uno instalado a nivel del suelo y otro instalado en una torre (ver: Hafele–Keating_experiment ). Esa es una forma en que la relatividad general afecta las cosas reales a escala casi humana en la Tierra. Según el experimento, podemos estar seguros de que las personas en lo alto de los rascacielos experimentan el tiempo de manera diferente a las personas en la calle.

Más recientemente, los investigadores han logrado usar relojes aún más precisos para medir la dilatación del tiempo moviendo el reloj unos pocos centímetros verticalmente . (Ver también: https://arstechnica.com/science/2020/04/portable-clock-provides-new-ruler-for-measuring-the-earth/ )