¿Por qué y cuándo se puede considerar a la Tierra como un marco de referencia inercial?

Si necesita lanzar una pelota por un campo, las correcciones para la rotación ascienden a aproximadamente 0,0001 g de aceleración. Lo suficientemente pequeño como para ser ignorado durante los 3 segundos que la pelota está en el aire.

Si está disparando un proyectil a otro estado, entonces esa aceleración aparente se sumará a muchos metros de desviación en contra de las predicciones al usar un marco de inercia para los cálculos.

La mayoría de las experiencias a escala humana no tienen suficiente distancia o velocidad para que el error al asumir un marco inercial se haga evidente. Por lo tanto, la complejidad adicional de calcular los cambios debidos al movimiento de la tierra es innecesaria. De la misma manera que para muchos experimentos de laboratorio podríamos ignorar la resistencia del aire y la falta de uniformidad del campo gravitatorio.

No hay una regla estricta sobre esto. Simplemente elija el modelo más simple que sea suficiente para su propósito. ¿Quiere una tubería que lleve agua desde la parte superior de un edificio de 10 m hasta el suelo? Probablemente pueda ignorar la rotación de la tierra por cómo se desarrollan las presiones en la tubería. ¿Necesita modelar cómo circula el aire alrededor del planeta? No puedes tomar ese atajo.

¿No significa que las aceleraciones debidas a cualquier movimiento en el que esté involucrada la Tierra son mucho más pequeñas que las aceleraciones que encontramos en la vida cotidiana? ¿Es esto un accidente o el resultado de algunas propiedades del universo?

Las aceleraciones debidas al movimiento de la tierra son más pequeñas que las aceleraciones que notas en la vida cotidiana. No es un accidente, es solo que la tierra gira bastante lentamente en la escala humana.

Ve a buscar un tiovivo, enchúfale un motor para que gire una vez cada 24 horas. Párate en él y no podrás saber mucho de lo que está pasando. Las aceleraciones debidas a la órbita terrestre ya la rotación galáctica tardan aún más y serán aún más pequeñas.

Las correcciones de Coriolis son proporcionales a la velocidad de rotación del marco ($\omega$). Una revolución al día no es muy grande.

Es necesario distinguir dos tipos de movimientos en los que interviene la Tierra:

1. La rotación sobre su propio eje.
2. El movimiento de la Tierra como un todo alrededor del Sol, el centro de la Galaxia, etc.

De hecho, el OP es ambiguo en cuanto a si se refiere al marco de referencia asociado a la superficie de la Tierra oa su centro; en este último caso, solo nos interesa el segundo tipo de movimiento.

Caída libre
El movimiento de la Tierra como un todo es una caída libre en el campo gravitatorio. El principio de equivalencia de la relatividad general establece que en este caso el marco de referencia se puede considerar inercial, porque todos los objetos en él experimentan las mismas aceleraciones debido a la gravedad, y solo se pueden detectar sus aceleraciones relativas.

Rotación de la Tierra
Un marco de referencia unido a la superficie de la Tierra no es inercial y es necesario introducir fuerzas ficticias: la fuerza centrífuga, la fuerza de Coriolis y la fuerza de Euler. Estas fuerzas pueden despreciarse, si son pequeñas, como se explica en la versión anterior de esta respuesta (ver más abajo). Además, se puede argumentar que, si estos no fueran pequeños, las condiciones en la Tierra serían demasiado inestables para permitir la existencia de vida.

Comentario
Los dos puntos anteriores corresponden esencialmente a las dos viñetas en el OP.

Reconocimiento
Agradezco la ayuda de todos los que participaron en la discusión y me ayudaron a aclarar diferentes partes de esta respuesta.

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Versión antigua de la respuesta.

La primera viñeta en el OP es la respuesta correcta:

las aceleraciones con las que tratamos (en particular, ) son mucho mayores que las aceleraciones debidas a los otros movimientos en los que está involucrado?

A juzgar por los comentarios, muchas personas tienen la esencia de la idea; además, ya se mencionó en las respuestas citadas en el OP. Sin embargo, el enfoque de tratar de calcular todas las aceleraciones posibles (debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje, la rotación alrededor del Sol, el movimiento con respecto a la Galaxia) es una forma difícil (si no imposible) de demostrarlo.

De hecho, todas estas aceleraciones (y por lo tanto las pseudofuerzas que aparecen al tratar a la Tierra como un marco de referencia inercial) deben ser pequeñas en comparación con las aceleraciones típicas que experimentamos en la Tierra (que son del orden de$g$) como condición de estabilidad de nuestro pequeño mundo.

En efecto, consideremos la aceleración debida a la rotación de la Tierra a velocidad angular$\omega$. Suponiendo por simplicidad que estamos en el ecuador, la condición de que podemos despreciar los efectos no inerciales es

$$a=\omega^2R\ll g.$$ Es significativo que las aceleraciones cotidianas características sean del orden de$g$o menor, ya que la condición anterior se convierte en la condición de que tratamos con velocidades menores que la velocidad de escape : $$\omega^2R=\frac{v^2}{R}\ll \frac{GM}{R^2}.$$ Es decir, si las fuerzas ficticias en cuestión fueran comparables a las aceleraciones con las que tratamos, y siempre que estas fuerzas ficticias se deban al movimiento en el campo de gravedad, nuestro entorno no se mantendría unido.

Reconocimiento: agradezco a @rob por llamar mi atención sobre este simple hecho.

La razón por la que puede ignorar el movimiento de rotación de la Tierra para la mayoría de los propósitos cotidianos es que el movimiento es circular con un período largo, una velocidad tangencial constante y un radio grande. Esos puntos significan que estamos cerca de ser inerciales: la aceleración que experimentamos es puramente centrípeta (es decir, hacia abajo) y pequeña en comparación con la fuerza de gravedad hacia abajo. Nuestra velocidad tangencial es efectivamente constante. La curvatura de la trayectoria que seguimos como consecuencia de la rotación de la Tierra es del orden de unos pocos centímetros por milla (siendo mayor en el ecuador y nula en los polos), por lo que apenas varía de una línea recta. Eso explica por qué la Tierra puede considerarse cercana a la inercia para muchos propósitos.

En cuanto a cuándo, debes tener en cuenta la aceleración debida a la rotación de la Tierra cuando necesites realizar cálculos con un alto grado de precisión o cuando los efectos que intentas modelar se produzcan a largas distancias en comparación con la curvatura de la trayectoria que seguimos. .

Hay dos clases principales de razones por las que podemos ignorar un efecto físico, incluido el de los marcos de referencia no inerciales:

• El sistema contiene incertidumbres que son suficientemente mayores que los efectos que buscamos ignorar.
• El sistema se estabiliza frente a los efectos que buscamos ignorar.

En la mayoría de las situaciones, la primera condición es la razón principal por la que podemos ignorar los efectos no inerciales. Si los efectos no inerciales perturbarán mis resultados en 1 cm y mis incertidumbres en el equipo lo perturbarán en 1 km, no hay razón para incluir los efectos no inerciales. Y, no es de extrañar, a medida que aumentan la precisión y la exactitud del experimento, disminuye la capacidad de ignorar estos efectos no inerciales.

El otro caso común es un sistema que está estabilizado. Esta es la razón por la que generalmente ignoramos efectos como el efecto Coriolis cuando modelamos aviones. Por lo general, hay un piloto que compara dónde está con dónde quiere estar y emite correcciones. En estos casos, es posible que ni siquiera notemos que se produjo el efecto, aunque vería las correcciones si se fija lo suficiente.

Del mismo modo, hay momentos en los que puedes modelar los efectos gravitatorios como la ley de Newton,$\frac{GmM}{r^2}$. La mayoría de las veces eso es exacto y está muy por debajo de sus incertidumbres. A veces es necesario actualizar a un modelo J2 , que tiene en cuenta la naturaleza no esférica de la Tierra. Otras veces necesita actualizar a un modelo J4. Otros necesitan EGM2009 . Todo depende de cómo se comparen sus incertidumbres y capacidades estabilizadoras con las imprecisiones del modelo más simple.

¿Y si no está claro? Determinar qué modelo usar puede ser un arte en algunos casos. Por lo general, nos equivocamos por el lado de la precaución y usamos un modelo de orden superior si no podemos probar que sus efectos serían insignificantes. Y los umbrales no son matemáticamente simples. No hace falta decir que seré mucho más exigente con la precisión de la cirugía ocular que seré cuando trate de conectar un jonrón en una liga casual.

Como está pidiendo una explicación matemática, aquí hay una, irónica:

• Sea el resultado que estimamos de nuestros modelos mentales simplificados$o_{estimated}$.
• Sea el resultado realmente observado$o_{observed}$.
• Deja que la diferencia sea$\Delta o = o_{observed} - o_{estimated}$.

Entonces podemos ignorar$\Delta o$mientras$\Delta o \ll o_{observed}$.

El gran elefante en esta habitación matemáticamente decorada es la definición que falta de "$\ll$". Es simplemente un atajo para "lo suficientemente pequeño como para ignorarlo", lo que lleva al razonamiento circular "puedes ignorarlo siempre que puedas ignorarlo" (es decir, siempre que ignorarlo no te haga daño). ¹ En nuestra vida diaria simplificamos mucho todo el tiempo, el mundo es enormemente complejo, pero la mayor parte no nos concierne.

Ejemplos:

• Consideramos el terreno plano.
• Por lo general, no consideramos que la velocidad del sonido sea finita.
• Nunca consideramos que la velocidad de la luz sea finita.
• Ignoramos el hecho conocido de que la física newtoniana es total y fundamentalmente incorrecta (su punto: en cambio, los objetos en movimiento ganan masa, la aceleración curva el espacio, solo interactuamos con nuestro entorno inmediato (sin interacción remota), etc.)
• Tratamos las superficies como la mesa en la que estoy sentado como un plano rígido y continuo que ocupa una coordenada de espacio-tiempo inequívoca. (Pero sabemos que consiste en átomos con núcleos y capas de electrones, y si miramos muy de cerca, nos resulta difícil decir exactamente dónde está ahora o cuándo).

Todas estas simplificaciones se pueden hacer porque las diferencias entre las predicciones simplificadas y las observaciones en nuestra vida diaria son pequeñas.

Cuando eso ya no sea cierto, debemos reducir el grado de simplificación en nuestros modelos. Ejemplos correspondientes a la lista anterior:

• No se pueden observar objetos a gran distancia.
• No se puede aplaudir de forma sincronizada en un estadio.
• Los intervalos de tiempo entre los eclipses de Io parecen variar con las estaciones de la Tierra.
• Los relojes atómicos de sus satélites GPS son demasiado rápidos, aunque los sometemos al control de calidad más riguroso antes del lanzamiento.
• Cuando disparamos rayos X a los cristales, observamos patrones regulares que indican que la materia sólida tiene una estructura interna.

Entonces, todas las matemáticas se reducen a "puedes simplificar con impunidad hasta que no puedas". Este es en realidad un caso especial del principio muy general "puedes ignorar la realidad hasta que no puedas".

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_{¹ Esta actitud pragmática que nos vemos obligados a asumir para no ahogarnos en detalles irrelevantes ha sido explorada por William James a principios del siglo XX. Desarrolló una teoría de la verdad del pragmatismo que, al estilo típicamente estadounidense, evitaba el esoterismo metafísico y se centraba en cambio en la utilidad. En la lección 6 escribió:}

El pragmatismo, por otro lado, hace su pregunta habitual. "Concede que una idea o creencia sea verdadera", dice, "¿qué diferencia concreta hará en la vida real de alguien que sea verdadera? ¿Cómo se realizará la verdad? ¿Qué experiencias serán diferentes de las que se obtendrían si la creencia fuera falsa ? ¿Cuál es, en resumen, el valor en efectivo de la verdad en términos experienciales?

Pensamientos introductorios

¿Qué significa tratar a la Tierra como un marco inercial? Diría que significa que pretendemos que la Tierra es un plano infinito, moviéndose con una velocidad constante en alguna dirección. Esto explica muchos fenómenos cotidianos, ya que somos tan pequeños que esencialmente siempre vivimos en el plano tangente de la Tierra, y para aquellos de nosotros que no somos profesionales en la industria aeroespacial, los objetos que lanzamos al aire tienden a caer antes de la tangente. el plano de la Tierra cambia mucho.

Esta suposición es buena siempre que la desviación de algún movimiento de interés sea menor que algún umbral de aceptabilidad, del movimiento que representa los efectos no inerciales. Tenga en cuenta que la desviación del movimiento esencialmente siempre se elevará por encima de cualquier umbral dado el tiempo suficiente (incluso si aplico$10^{-12}$N para usted, si lo hago continuamente durante un tiempo lo suficientemente largo, eventualmente notará que se desplaza en relación con donde estaría si no se aplicara fuerza. La acumulación de un efecto pequeño que siempre apunta en la misma dirección hasta que se convierte en un efecto grande, a veces se conoce como variación secular .

Podemos ilustrar estos puntos generales con el ejemplo simple de aceleración uniforme en 1 dimensión. Entonces la trayectoria de un "observador inercial" es$x_I (t) = x_0 + v_0 t$, y un observador acelerado que "coincide" con el observador inercial en$t=0$tiene una trayectoria$x_A (t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = x_I(t) + \frac{1}{2} a t^2$. Estamos interesados ​​en el error que cometemos al ignorar el término de aceleración, en comparación con un nivel aceptable de error en la posición$\Delta x$

$$\begin{equation} \epsilon = \frac{\left| x_I(t) - x_A(t) \right| }{\Delta x} = \frac{a t^2}{2\Delta x} = \left(\frac{t}{t_A} \right)^2 \end{equation}$$ dónde$t_A = \sqrt{2 \Delta x / a}$es la escala de tiempo en la que los efectos no inerciales se vuelven importantes.

El error crece con$t$, pero solo se vuelve grande cuando$t$es de orden la escala de tiempo$t_A$. Dado que tenemos cierta tolerancia fija en la posición$\Delta x$, y que un experimento típico ocurre en una escala de tiempo humana$t_H$, podemos despreciar el efecto de la aceleración si$t_H \ll t_A$, que requiere$a$ser más pequeño que$\Delta x / t_H^2$. Esta forma de este argumento de escala nos da la intuición de qué esperar en casos más generales.

Rotación de la Tierra

Probablemente el efecto no gravitacional y no inercial más obvio es la rotación de la Tierra. Creo que este punto fue cubierto muy bien por otras respuestas, y estoy de acuerdo con la conclusión de que la magnitud de cosas como la fuerza de Coriolis es tan pequeña que no las notas en escalas de tiempo "humanas". El parámetro que controla la pequeñez de los efectos rotacionales de la Tierra es la velocidad angular.

...

Bueno, en realidad eso no es del todo cierto ya que el movimiento de la Tierra es muy complicado, y además de la rotación diaria también hay precesión y nutación, mientras que cualquier fuerza no inercial de estos efectos es minúscula según cualquier definición razonable, entendiendo los efectos seculares de la precesión son cruciales para los astrónomos).

Efectos gravitacionales y de marea de la Tierra y la Luna

La gravedad hace que esto sea un poco complicado, pero creo que un campo gravitacional uniforme puede considerarse una forma "benigna" de no inercia, ya que según el principio de equivalencia, un campo gravitatorio uniforme es simplemente un marco de referencia que se acelera uniformemente. Entonces, creo que podemos decir que la Tierra es "lo suficientemente inercial", siempre que el campo gravitatorio esté "lo suficientemente cerca" de ser uniforme. La aceleración gravitacional$\vec{g}$para un cuerpo esférico aislado de masa$M$es

$$\begin{equation} \vec{g} = \frac{GM}{r^2} \hat{e}_r = \frac{GM}{R^2} \left(1 - 2 \frac{\delta r}{R} + \cdots \right) \vec{e}_r \end{equation}$$ dónde$\hat{e}_r$es un vector unitario que apunta desde el observador al centro de la Tierra, y$R$es el radio de la Tierra. En la segunda igualdad, hemos escrito la distancia de la Tierra al observador como$r=R+\delta r$, dónde$\delta r$es la distancia radial del punto a la superficie de la Tierra, y expandida en$\delta r / R$. Las fuerzas de marea debidas a la no uniformidad de la aceleración de la Tierra provienen del segundo término,$\delta r/R$. Siempre que la altura de un objeto sobre la superficie de la Tierra sea una pequeña fracción del radio de la Tierra, podemos tratar el campo gravitatorio de la Tierra como uniforme. Esta es una buena aproximación si lanzas una manzana 1 metro en el aire. No es una buena aproximación si lanzas un satélite a la órbita.

Puedes tratar de dar cuenta de cosas más sutiles como el hecho de que la Tierra no es una esfera perfecta. La siguiente mejor aproximación sería decir que la Tierra es una elipse; obtendrá otro conjunto de correcciones proporcionales a la pequeña elipticidad de la Tierra,$e$. Efectos aún más sutiles provienen de la topografía local de la Tierra; estos serán suprimidos por algo como la altura de la variación topográfica (por ejemplo, la altura de una montaña) sobre el radio de la Tierra. De hecho, todos estos efectos se notan si realiza mediciones de alta precisión del campo gravitatorio de la Tierra.

También podemos observar las fuerzas de las mareas desde la luna. Aquí$\delta R$es lo mismo, pero ahora$M$es menor (es la masa de la luna en lugar de la de la tierra) y$R$es mucho mayor (la diferencia entre el centro de la luna y la superficie de la Tierra), por lo que la fuerza de marea$\sim GM \delta r / R^3$es mucho, mucho menor que la fuerza de marea debida a la Tierra misma. Por supuesto, notamos las mareas; esto básicamente se reduce al hecho de que somos pequeños en comparación con la Tierra, por lo que notamos pequeños cambios, y 12 horas es una fracción sustancial del período de rotación de la Tierra, por lo que$\omega t$pasa a ser de orden 1. Más precisamente, lo que distingue la fuerza de marea de la luna de la propia fuerza de marea de la Tierra es que$R$(como lo he definido) depende del tiempo y, a menudo, es mucho más fácil ver un efecto pequeño que varía en el tiempo que uno constante.

Movimiento a través del cosmos

Finalmente, considerando el movimiento de la Tierra a través del cosmos, como también se discutió en otras respuestas, el movimiento de caída libre es inercial. Si hay fuerzas genuinamente no gravitatorias que experimentan la Tierra, el sistema solar o la galaxia, estas deben actuar en una escala de tiempo tan larga que no serán significativas para las mediciones basadas en la Tierra.

Terminando

Creo que la mayoría de los puntos aquí se generalizarían a otros planetas, o al menos te dan una condición para verificar si se generalizaría. Si bien debe razonar sobre cada efecto caso por caso, siempre hay (a) algún pequeño parámetro que controla el efecto no inercial, ya sea la velocidad de rotación de la Tierra,$\delta R/R$para los efectos de marea, la elipticidad, etc., y (b) alguna escala de tiempo que nos diga cuándo los efectos seculares se vuelven importantes.

Si pudiéramos separar la fuerza de gravedad entre planetas, estrellas y satélites de la misma fuerza que ejerce cada cuerpo celeste sobre un objeto suelto en su superficie, los efectos de ser un marco no inercial serían evidentes.

Por ejemplo: la tierra es un marco no inercial porque está orbitando alrededor del sol. Entonces, si un libro de 3 kg se pesa en una balanza de cocina al mediodía, hay una fuerza centrípeta de

$$m \omega^2 R = 3*(2\pi \frac{1}{365*24*3600})^2 * 150*10^9 \approx 0.02 N$$

que aparentemente debería agregarse al peso. Significa 2 gramos, lo que podría ser detectado incluso por una balanza barata. Pero no hay diferencia del peso del libro a lo largo del día. Y la razón, según la teoría de Newton, es que el libro es atraído por el Sol con la misma fuerza y ​​los efectos se anulan.

Entonces, por un lado, los cuerpos celestes en órbita son marcos acelerados, pero por otro lado, las fuerzas ficticias esperadas que resultan de ello están ausentes debido a las fuerzas de gravedad.

La excepción es la rotación alrededor de su propio eje. Si hay una forma precisa de saber la dirección de una línea recta desde la superficie hasta el centro, dispositivos como una plomada mostrarán una desviación, debido a la fuerza centrífuga ficticia.

¡El movimiento cerca de la Tierra es básicamente inercial si un objeto no está siendo "empujado" por nada! Si lanzas una piedra, está en movimiento inercial (aparte de la resistencia del aire) hasta que golpea el suelo .

El movimiento de la Tierra alrededor del Sistema Solar, la Galaxia, etc. es irrelevante si no estás siendo empujado, ¡y es completamente dominante si estás en el suelo !

La artillería también está en movimiento inercial; el efecto coriolis es un artefacto solo visible para los observadores en el suelo !

Los componentes de la rotación de la tierra en la latitud$\lambda$son:

$$\mathbf \Omega_E=\begin{bmatrix} 0\\ \cos(\lambda)\, \Omega\\ \sin(\lambda)\,\Omega\\ \end{bmatrix}$$

de aquí podemos obtener las pseudo fuerzas debidas a la rotación de la tierra

$$\mathbf F_s=m\,\big(2\,(\mathbf\Omega_E\,\times \mathbf{\dot{R}})+\mathbf\Omega_E\times\,(\mathbf\Omega_E\times \mathbf R)\big)$$

dónde

$$\mathbf R=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix}\quad,\text{is the postion vector}$$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}= \left[ \begin {array}{c} \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}x+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}x \right) {\Omega}^{2}+ \left( -2\, \cos \left( \lambda \right) { \dot{z}}+2\, \sin \left( \lambda \right) {\dot{y}} \right) \Omega \\ \left( - \sin \left( \lambda \right) \cos \left( \lambda \right) z+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}y \right) {\Omega}^{2}-2\, \sin \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\\ \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}z- \cos \left( \lambda \right) \sin \left( \lambda \right) y \right) {\Omega}^{2}+2\, \cos \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\end {array} \right]$$

Los EOM's en sistema rotatorio en caída libre

$$\begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \\ \end{bmatrix}=-\frac{\mathbf F_s}{m}-\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ g \\ \end{bmatrix}\tag 1\\ g=\frac{G\,M_E}{(R_E+z)^2}=\frac{M_E}{\big(R_E\,(1+\frac{z}{R_E})\big)^2 }\approx \frac{G\,M_E}{R_E^2}$$ dónde$~R_E~$es el radio de la tierra,$~M_E~$masa terrestre y G la constante de gravitación

con$~\Omega=7.2710^{-5}~$[1/s]$~~,\lambda=\frac{40}{180}\,\pi~$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}=\left[ \begin {array}{c} 0.000000005285290000\,x- 0.0001113828620\,{ \dot z}+ 0.00009346131845\,{\dot y}\\ - 0.000000002602497284\,z+ 0.000000002183754512\,y- 0.00009346131845\,{ \dot x}\\ 0.000000003101535488\,z- 0.000000002602497284\,y+ 0.0001113828620\,{\dot x}\end {array} \right]$$

de este modo$\frac{\mathbf F_s}{m}\approx \mathbf 0~$y la ecuación (1) es el caso inercial.