¿Experimenta la Tierra alguna dilatación temporal significativa y mensurable en el perihelio?

Podemos calcular la dilatación del tiempo para un objeto que se mueve en el campo gravitatorio del Sol utilizando la métrica de Schwarzschild. Estrictamente hablando, esto es una aproximación ya que el Sol está girando y no es esférico, pero nos dará una respuesta bastante buena.

La métrica de Schwarzschild es (escribiéndola en términos del tiempo adecuado):

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - \frac{dr^2}{1 - r_s/r} - r^2d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{1}$$

dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild del Sol:

$$r_s = \frac{2GM_{Sun}}{c^2}$$

En el perihelio y el afelio, el movimiento es tangencial, por lo que la velocidad radial es cero y, por lo tanto,$dr=0$. También arreglaremos nuestras coordenadas para que todo el movimiento sea en el plano ecuatorial para que$\theta=\pi/2$y$d\theta=0$. Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) encontramos que la métrica se simplifica considerablemente a:

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 d\phi^2 \tag{2}$$

Si la velocidad tangencial es$v$entonces el ángulo$d\phi$movido en un tiempo$dt$es solo:

$$d\phi = \omega dt = \frac{v}{r}dt$$

y sustituimos esto en la ecuación (2) para obtener:

$$c^2d\tau^2 = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2dt^2 - r^2 \left(\frac{v}{r}\right)^2dt^2$$

que reordenamos para darnos la ecuación de la dilatación del tiempo:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{v^2}{c^2}} \tag{3}$$

De acuerdo con la hoja informativa de la NASA, los valores de$v$y$r$en el perihelio y el afelio son:

$$\begin{align} r_p &= 1.4709 \times 10^{11} \,m \\ v_p &= 30290 \,m/s \\ r_a &= 1.5210 \times 10^{11} \,m\\ v_a &= 29190 \,m/s \end{align}$$

Y el radio de Schwarzschild del Sol es$r_s \approx 2953$metro. Poner estas cifras en nuestra ecuación (3) nos da:

$$\begin{align} d\tau/dt \,\text{perihelion} &= 0.99999998486 \\ d\tau/dt \,\text{aphelion} &= 0.99999998555 \end{align}$$

podemos hacer que estos números sean un poco más digeribles expresándolos como tiempo perdido por día, por ejemplo, cuántos segundos al día los relojes en la Tierra se atrasan como resultado de la dilatación del tiempo. Si hacemos esto encontramos:

$$\begin{align} \text{perihelion loss} &= 1.308 \,\text{ms/day} \\ \text{aphelion loss} &= 1.248 \,\text{ms/day} \end{align}$$

Y la diferencia entre los dos es sobre$60\mu$s por día. Entonces los relojes corren$60\mu$s por día más lentamente en el perihelio que en el afelio.

En principio, esto es fácilmente medible ya que los relojes atómicos tienen la precisión para medir cambios tan pequeños. Sin embargo, hay dificultades prácticas. La dilatación del tiempo se mide en relación con un observador estacionario fuera de la influencia gravitacional del Sol, y no podemos colocar fácilmente un reloj atómico en algún lugar fuera de la órbita de Plutón para hacer la comparación. Podríamos poner un satélite en una órbita exactamente circular en el radio orbital promedio de la Tierra, y en ese caso nuestros relojes funcionarían alrededor de$30\mu$s por día más rápido que el reloj del satélite en el afelio y la misma cantidad más lento en el perihelio.

Una nota al pie rápida:

El conde Iblis señala que los púlsares son un excelente reloj fuera de la influencia gravitatoria del Sol, y podemos medir las frecuencias de los púlsares con suficiente precisión para detectar la$60\mu$Cambio de s por día entre perihelio y afelio. Si alguien tiene una referencia para esto, siéntase libre de editarla en esta respuesta.

El GPS depende de las correcciones de tiempo de la relatividad general y especial porque los satélites se encuentran en un campo gravitatorio más pequeño y funcionan con una velocidad suficientemente alta.

Debido a que un observador en la tierra ve los satélites en movimiento en relación con ellos, la Relatividad Especial predice que deberíamos ver el tictac de sus relojes más lentamente (ver la lección de Relatividad Especial). La relatividad especial predice que los relojes atómicos a bordo de los satélites deberían atrasarse con respecto a los relojes terrestres en aproximadamente 7 microsegundos por día debido a la tasa de tictac más lenta debido al efecto de dilatación del tiempo de su movimiento relativo.

Además, los satélites están en órbitas muy por encima de la Tierra, donde la curvatura del espacio-tiempo debido a la masa de la Tierra es menor que en la superficie de la Tierra. Una predicción de la Relatividad General es que los relojes más cercanos a un objeto masivo parecerán funcionar más lentamente que aquellos ubicados más lejos (ver la conferencia Black Holes). Como tal, cuando se ve desde la superficie de la Tierra, los relojes de los satélites parecen funcionar más rápido que los relojes idénticos en el suelo. Un cálculo que utiliza la Relatividad General predice que los relojes de cada satélite GPS deberían adelantarse a los relojes terrestres en 45 microsegundos por día.

¡La combinación de estos dos efectos relativíticos significa que los relojes a bordo de cada satélite deberían funcionar más rápido que los relojes idénticos en tierra en aproximadamente 38 microsegundos por día (45-7 = 38)! Esto suena pequeño, pero la alta precisión requerida del sistema GPS requiere precisión de nanosegundos, y 38 microsegundos son 38,000 nanosegundos. Si estos efectos no se tuvieran en cuenta correctamente, una posición de navegación basada en la constelación de GPS sería falsa después de solo 2 minutos, y los errores en las posiciones globales continuarían acumulándose a un ritmo de unos 10 kilómetros cada día. Todo el sistema sería completamente inútil para la navegación en muy poco tiempo.

La dilatación del Tiempo - Tierra y Júpiter , debería decirle que se encontrarán diferencias correspondientes entre el perihelio y el afelio de la tierra.