¿Serías ingrávido en el centro de la Tierra?

Question

¿Serías ingrávido en el centro de la Tierra?

lado libre

Si pudieras viajar al centro de la Tierra (o de cualquier planeta), ¿estarías allí sin peso?

Nick Pascucci

¿Asumiendo que estamos ignorando la gravedad debido a otros cuerpos en el sistema planetario...?

Alan Romero

@codeMonk solo importaría si considera el tipo de efectos de marea de segundo orden de esos cuerpos.

keith thompson

Esta pregunta y mi respuesta están estrechamente relacionadas, aunque no creo que esta pregunta sea un duplicado exacto.

Respuestas (5)

¿Serías ingrávido en el centro de la Tierra?

¿Asumiendo que estamos ignorando la gravedad debido a otros cuerpos en el sistema planetario...?
@codeMonk solo importaría si considera el tipo de efectos de marea de segundo orden de esos cuerpos.
Esta pregunta y mi respuesta están estrechamente relacionadas, aunque no creo que esta pregunta sea un duplicado exacto.

Juan Alexiou · Answer 1

Juan Alexiou

Correcto. Si divides la tierra en capas esféricas, entonces la gravedad de las capas "arriba" se anula y solo sientes las capas "debajo". Cuando estás en el medio no hay nada "debajo" de ti.

Referencia de Wikipedia Teorema de Gauss y Shell .

{Estoy usando algunos términos simplistas, pero no quiero desglosar integrales de superficie y ecuaciones de flujo radial}

Editar: aunque el interior del caparazón tendrá gravedad cero clásicamente , también tendrá gravedad no cero relativistamente . En el centro perfecto, las fuerzas pueden equilibrarse, dando una solución inestable , lo que significa que una pequeña perturbación en la posición dará como resultado fuerzas que exagerarán esta perturbación.

Noldorin

Solo para expandirte, de hecho te sentirías ingrávido en cualquier lugar dentro de la Tierra, ¡no solo en el centro!

david z

@Noldorin: en realidad sientes la gravedad de toda la masa de la Tierra en un radio menor que el tuyo (de lo contrario, comenzarías a flotar cada vez que entras en un sótano). Si no recuerdo mal, la aceleración gravitatoria dentro de una esfera sólida de densidad uniforme es proporcional a

r

$r$ .

deflector

@mbq: el equilibrio será estable, no inestable. Las fuerzas caen a cero linealmente desde la superficie hasta el centro de masa de la Tierra. No habrá una gran fuerza de restauración para pequeños desplazamientos, pero habrá una fuerza que aumenta linealmente hacia 1 g en la superficie. ¿Qué pasa con esto que te hace decir que es "muy inestable"? Para mí, eso implica que cualquier pequeña desviación dará como resultado una fuerza que se alejará del centro, lo cual es lo contrario de lo que sucedería.

Noldorin

@David: Maldita sea, tienes razón. Estaba pensando en una capa esférica. En ese caso, en cualquier lugar dentro de la esfera no hay fuerza neta.

Marek

@mbq: no es un equilibrio inestable en absoluto. Muy por el contrario, sirve como un oscilador armónico casi perfecto. Esto se puede ver mejor cavando un túnel a través de la Tierra y poniendo una pelota dentro.

david z

@JustJeff: claro, parece que ese sería el caso, pero si revisas y haces el cálculo, descubres que en realidad no es así. Suponiendo que el caparazón sea perfectamente esférico, no sentirá ninguna fuerza gravitacional en su interior, incluso si está cerca de la superficie interna. Básicamente, la razón es que la fuerza de la pequeña parte de la masa directamente encima de ti se equilibra con la fuerza del gran resto de la masa debajo de ti. Para obtener más información, consulte los artículos de Wikipedia vinculados en la respuesta de jalexiou. (El del teorema de la cáscara es probablemente un poco más fácil de seguir)

usuario68

@Marek @inflector: Obviamente tienes razón, lo siento; apagón transitorio. Eliminaré este comentario para evitar confusiones.

jeremy

@Marek: no es realmente un buen oscilador armónico para oscilaciones de gran amplitud, porque el potencial no es cuadrático. Por supuesto, para oscilaciones de pequeña amplitud, todo es como un HO

Marek

@Jeremy: la bola homogénea de materia es un oscilador armónico perfecto . Intenta calcular las matemáticas ;-) La Tierra es casi perfecta solo porque no es homogénea y no es una bola.

solojeff

@David Zaslavsky: ok, punto concedido. Debería haberme dado cuenta de que esto sería lo mismo que por qué no hay un campo eléctrico dentro de un generador de vandegraff, para lo cual recuerdo haber resuelto las ecuaciones (tarea, en el pasado), así que eliminé mi anterior comentario estúpido.

colin k

¡Todos dejen de borrar comentarios! Hace que el hilo sea muy difícil de seguir.

Roy Simpson

Una ligera complicación con el argumento de Shell es que todo asume que la gravedad newtoniana es válida aquí, lo cual no será. Será alguna solución GR que, si es similar a Schwarzchild, introducirá una pequeña

1 / r^{3}

$1/r^3$ término cerca del centro. Esto invalida el teorema de Shell, pero un argumento de simetría aún sugiere cero en el centro. Sin embargo, creo que esto podría introducir una ligera inestabilidad. Así que no perfores las estrellas de neutrones con la esperanza de descansar hasta que esto se aclare.

Teórico

@ ja72 ¿Puede mostrarme por qué solo siento las conchas debajo de mí, sin usar la Ley de Gauss? eso no lo entiendo bien

Juan Alexiou

@AsifIqubal: la masa sobre usted se cancela porque dos partículas diametralmente opuestas en el caparazón producen una fuerza de gravedad igual y opuesta. Incluso cuando se aleja del centro, habrá más partículas más lejos (en el lado más alejado) y menos más cerca, lo que aún cancela la gravedad.

deflector · Answer 2

La forma más sencilla de pensar en ello es que hay masa a tu alrededor en el centro de la Tierra, por lo que obtienes una "atracción" gravitatoria igual desde todas las direcciones. Los tirones se cancelan, por lo que no obtienes aceleración.

Si se asume una densidad constante para la Tierra (lo cual no es estrictamente cierto pero es lo suficientemente cercano para esta ilustración), la aceleración gravitacional cae linealmente desde 1g en la superficie hasta 0 en el centro de la Tierra. Entonces obtendrías un cero si pisas una escala en el centro de la Tierra.

La explicación más complicada es que la aceleración de la gravedad es la derivada del potencial gravitatorio. Este potencial es mínimo en el centro de la Tierra y crece cuadráticamente hasta la superficie. Luego continúa aumentando a un ritmo más bajo. Dado que el centro exacto es plano (como el fondo de un valle), la derivada que es una medida de la tasa de cambio es cero y no hay aceleración.

Curiosamente, a pesar de que no tendría peso allí, los efectos de la gravedad son más altos en el centro de la Tierra. Obtienes más dilatación del tiempo gravitacional, por ejemplo, que en la superficie.

Creo que esta respuesta se suma significativamente a la de jalexiou porque señala que un argumento de simetría simple conduce a la ingravidez en el centro de la Tierra. Por lo tanto, los detalles de la ley de la gravedad (su cuadrado inverso) no son realmente importantes para esta pregunta.
Además, dado que la Tierra-Luna gira alrededor de un punto a 4000 km del centro de la tierra, serías ingrávido en una dona alrededor del centro.
Me gustaría que profundizara en su afirmación de una mayor dilatación del tiempo en el centro.
@Fernando La tasa de su tiempo propio en relación con un observador distante es aproximadamente $1 + V/c^2$ dónde $V$ es el potencial gravitacional (que es negativo). Comparado con alguien lejos de la Tierra (pero a la misma distancia del Sol), alguien en la superficie de la Tierra perdería unos dos segundos por siglo, y alguien en el centro, unos tres.

finbot · Answer 3

Me gustan las respuestas que apelan a la simetría, así que respondo a esta con una pregunta: si estuvieras en el centro, ¿hacia dónde caerías? Eso nos dice que podrías quedarte flotando allí.

-1: este argumento olvida el hecho de que la tierra gira y gira alrededor del sol.

usuario82794 · Answer 4

A continuación, el término "carga" se refiere a la masa oa la carga eléctrica y el término "Ley del Inverso del Cuadrado" se refiere a la Ley de la Gravitación de Newton oa la Ley de Coulomb, respectivamente.

SECCIÓN 1

A. La Ley del Inverso del Cuadrado para Esferas con densidad de carga superficial uniforme

Proposición A: Sea una esfera de radio $\:\rm{R}\:$ con densidad de carga superficial uniforme $\:\rho_{s}\:$ y vacío interior. Después:

(a1) la fuerza ejercida sobre una carga puntual $\:\xi\:$ en el interior o en la superficie de la esfera, como en la Fig. 01, es cero (se cancela). En términos de potenciales, toda la esfera (superficie + interior) es una región equipotencial .

(a2) la fuerza ejercida sobre una carga puntual $\:\xi\:$ en el exterior de la esfera, como en la Fig. 03, es igual a la fuerza ejercida por una partícula puntual en el centro de la esfera con carga igual a su carga superficial total $\:\Xi_{s}=\rho_{s}\cdot4\pi{\rm{R}}^{2}\:$ . En términos de potenciales, el potencial fuera de la esfera es igual al creado por su carga superficial total. $\:\Xi_{s}\:$ concentrada en su centro.

figura01 figura03

Una conclusión intermedia en la demostración de esta Proposición es que la magnitud de la fuerza ejercida por la "copa" AKBMA de la esfera sobre la carga puntual $\:\xi\:$ en la Fig. 02 es proporcional a $\:\sin^{2}\omega\:$ , dónde $\:\omega\:$ es el ángulo por el cual cualquier punto de la arista cíclica AMBA de la copa observa el segmento de línea $\:b\:$ (que entre la carga $\:\xi\:$ y el centro de la esfera). Más exactamente esta fuerza es por magnitud:

\begin{matrix} (A-01) & | F_{A k B METRO A} | = k \cdot \frac{Ξ_{s} \cdot ξ}{b^{2}} {pecado}^{2} (\frac{ω}{2}) = (k \cdot \frac{4 π ρ_{s} ξ R^{2}}{b^{2}}) {pecado}^{2} (\frac{ω}{2}) = C o norte s t a norte t \cdot {pecado}^{2} (\frac{ω}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \vert \mathbf{f}_{AKBMA}\vert=k \cdot \dfrac{\Xi_{s}\cdot \xi}{{\rm{b}}^{2}}\sin^{2}\left(\dfrac{\omega}{2}\right)=\left(k \cdot \dfrac{4\pi\rho_{s}\xi{\rm{R}}^{2}}{{\rm{b}}^{2}}\right)\sin^{2}\left(\dfrac{\omega}{2}\right)=constant\cdot \sin^{2}\left(\dfrac{\omega}{2}\right) \tag{A-01} \end{equation}$

Pero esta fuerza es cancelada por la fuerza ejercida por la "copa" CLDNC de la esfera que es igual en magnitud, pero de dirección opuesta:

\begin{matrix} (A-02) & F_{C L D norte C} = - F_{A k B METRO A} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{f}_{CLDNC}=\;-\;\mathbf{f}_{AKBMA} \tag{A-02} \end{equation}$

Entonces, si quitamos estas dos "copas", la fuerza no cambia. Pero si agrandamos la "copa" AKBMA moviendo su arista cíclica AMBA hacia la izquierda, esta última coincidirá con la arista cíclica CNDC de la copa izquierda CLDNC. Entonces quitar las dos copas es como quitar toda la esfera dejando la fuerza neta sin cambios, es decir, cero.

También en la Fig. 02 tenemos

\begin{matrix} (A-03) & F_{A METRO B D norte C A} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{f}_{AMBDNCA}=\;\mathbf{0} \tag{A-03} \end{equation}$

B. La Ley del Inverso del Cuadrado para Esferas con densidad de carga de volumen uniforme

Proposición B: Sea una esfera de radio $\:\rm{R}\:$ con densidad de carga de volumen uniforme $\:\rho_{v}\:$ . Después:

(b1) la fuerza ejercida sobre una carga puntual $\:\xi\:$ en el interior de la esfera situada a una distancia radial $\:\rm{r}\:$ de su centro es igual, según la Proposición A , a la ejercida por la densidad de carga volumétrica de una esfera de radio $\:\rm{r}\:$ , $\:\Xi_{v}\left(\rm{r}\right)=\rho_{v}\cdot \dfrac{4}{3}\pi{\rm{r}}^{3}\:$ , concentrado en el centro. La magnitud de esta fuerza es:

\begin{matrix} (B-01) & | F_{i norte s i d mi} | = k \cdot \frac{Ξ_{v} (r) \cdot ξ}{r^{2}} = k \cdot \frac{ρ_{v} 4 π ξ r^{3}}{3 r^{2}} = C o norte s t a norte t \cdot r, r \leq R \end{matrix}

$\begin{equation} \vert f_{inside} \vert =k \cdot \dfrac{\Xi_{v}\left(\rm{r}\right)\cdot \xi}{{\rm{r}}^{2}}=k \cdot \dfrac{\rho_{v}4\pi\xi{\rm{r}}^{3}}{3{\rm{r}}^{2}}=constant \cdot \rm{r}\:,\quad \rm{r}\le \rm{R} \tag{B-01} \end{equation}$

(b2) la fuerza ejercida sobre una carga puntual $\:\xi\:$ en el exterior de la esfera y a distancia radial $\:\rm{r}\:$ de su centro es igual, según la Proposición A , a la ejercida por la densidad de carga volumétrica de una esfera de radio $\:\rm{R}\:$ , $\:\Xi_{v}\left(\rm{R}\right)=\rho_{v}\cdot \dfrac{4}{3}\pi{\rm{R}}^{3}\:$ , concentrado en el centro. La magnitud de esta fuerza es:

\begin{matrix} (B-02) & | F_{o tu t s i d mi} | = k \cdot \frac{Ξ_{v} (R) \cdot ξ}{r^{2}} = k \cdot \frac{ρ_{v} 4 π ξ R^{3}}{3 r^{2}} = C o norte s t a norte t \cdot r^{- 2}, r > R \end{matrix}

$\begin{equation} \vert f_{outside} \vert =k \cdot \dfrac{\Xi_{v}\left(\rm{R}\right)\cdot \xi}{{\rm{r}}^{2}}=k \cdot \dfrac{\rho_{v}4\pi\xi{\rm{R}}^{3}}{3{\rm{r}}^{2}}=constant \cdot \rm{r}^{-2}\:,\quad \rm{r}>\rm{R} \tag{B-02} \end{equation}$

SECCIÓN 2

Suponga que la Tierra es una esfera perfecta con densidad de masa de volumen uniforme. Después:

Proposición C:

(c1) Un cuerpo ubicado en el centro de la Tierra no tiene peso.

(c2) Imagine un túnel de pequeña sección transversal que corre a lo largo de un diámetro completo, pasando así por el centro de la Tierra. Un cuerpo colocado en el túnel a una distancia radial $\:{\rm{r}}_{0}\:$ desde el centro ejecutará una oscilación armónica rectilínea simple con centro en el centro de la Tierra, ya que en el caso de la gravedad la fuerza es siempre atractiva al centro y según la ecuación (B-01) proporcional en magnitud a la distancia a este centro de atracción

Mella · Answer 5

Mella

No serías ingrávido en el centro de la Tierra. En otras palabras, la Tierra no sigue una geodésica. Dejame explicar.

La Tierra no es esférica, es un esferoide achatado. La aceleración de un cuerpo no esférico uniforme en un campo gravitacional esférico no sigue una ley del inverso del cuadrado. La aceleración del centro de masa no es igual a la aceleración en el centro de masa. Un acelerómetro fijado en el centro de la Tierra leería aproximadamente 1,75 pgal (1,75e-14 m/ $\mathrm{s^2}$ ), no cero.

keith thompson

¿Qué significa "pgal" (Google no ayudó)? Y si la aceleración no es cero en el centro de masa, debido a la falta de uniformidad de la forma de la Tierra, ¿estoy en lo correcto al suponer que hay un punto donde la aceleración es cero? ¿A qué distancia del centro geométrico está ese punto y en qué dirección?

Mella

Un objeto liberado en el geocentro aceleraría en la dirección opuesta al Sol.<br>

Mella

El punto donde la aceleración es cero está aproximadamente 0,15 m más cerca del sol. Si el Sol y la Tierra estuvieran estacionarios, ese punto estaría 0,22 m más cerca del Sol.

Martín Beckett

@KeithThompson "gal" es la aceleración en cm/s^2, por lo que 'g' = 9,8 m/s^2 = 980 gal. pgal es pico-gal. No se usa mucho en física, pero los geólogos lo usan para mediciones gravimétricas.

keith thompson

@Nick: Entonces, ¿un objeto lanzado en el geocentro se alejaría del punto de aceleración cero? Eso parece contradictorio.

Mella

Sí, se llama espaguetificación . La Tierra experimenta tensión radial y compresión transversal, como lo demuestra su abultamiento de marea. Dos objetos adyacentes alineados con el Sol experimentarán una fuerza de marea repulsiva que se opone y, a menudo, supera su fuerza gravitatoria mutua.

Potencial retardado

¡Oh, 15 cm más cerca del Sol! :-) :-) Necesitaría más detalles antes de creer esto, porque suena como un quisquilloso a medias. Si descendemos a ese pequeño orden de magnitud, ¿no podría haber otras cosas que debamos tener en cuenta? (Me viene a la mente la relatividad general. También, la Luna).

Selene Routley

Muy interesante. Y es un poco vergonzoso que hubiera respondido cero aceleración en el centro y también siempre lo hubiera hecho: ¡pero uno puede ver instantáneamente que tiene razón!

¿Serías ingrávido en el centro de la Tierra?

lado libre

Nick Pascucci

Alan Romero

keith thompson

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Juan Alexiou

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Noldorin

Marek

david z

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jeremy

Marek

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colin k

Roy Simpson

Teórico

Juan Alexiou

deflector

Marcos Eichenlaub

Martín Beckett

Fernando

Potencial retardado

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usuario82794

Mella

keith thompson

Mella

Mella

Martín Beckett

keith thompson

Mella

Potencial retardado

Selene Routley