¿Se puede medir localmente la constante de Hubble?

No todo se expande por igual debido a la expansión cosmológica. Si todo se expandiera en el mismo porcentaje por año, todas nuestras reglas y otros dispositivos de medición de distancia se expandirían y no podríamos detectar ninguna expansión en absoluto. En realidad, la relatividad general predice que la expansión cosmológica tiene muy poco efecto sobre los objetos que son pequeños y están fuertemente ligados. La expansión es un efecto demasiado débil para detectarlo a cualquier escala por debajo de la de las galaxias distantes.

Cooperstock et al. han estimado el efecto para sistemas de interés como el sistema solar. Por ejemplo, se calcula que el efecto relativista general predicho sobre el radio de la órbita terrestre desde la época de los dinosaurios es aproximadamente tan grande como el diámetro de un núcleo atómico; si la órbita de la tierra se hubiera expandido de acuerdo con la función de escala cosmológica$a(t)$, el efecto habría sido de millones de kilómetros.

Para ver por qué el efecto del sistema solar es tan pequeño, consideremos cómo puede depender de$a(t)$. Hay una cosmología llamada el universo de Milne, que es simplemente un espacio-tiempo plano y vacío descrito en coordenadas tontas;$a(t)$se elige crecer a un ritmo constante, pero esto no tiene importancia física, ya que no hay materia que tenga que expandirse así. El universo de Milne tiene$\dot{a}\ne 0$, es decir, un valor que no desaparece de la constante de Hubble$H_o$. Esto muestra que no debemos esperar ninguna expansión del sistema solar debido a$\dot{a}\ne 0$. El efecto de orden más bajo requiere$\ddot{a}\ne 0$.

Para dos partículas de prueba liberadas a distancia$\mathbf{r}$entre sí en un espacio-tiempo FRW, su aceleración relativa viene dada por$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}$. El factor$\ddot{a}/a$es del orden del inverso del cuadrado de la edad del universo, es decir,$H_o^2\sim 10^{-35}$s$^{-2}$. La pequeñez de este número implica que la aceleración relativa es muy pequeña. Dentro del sistema solar, por ejemplo, tal efecto es anulado por las aceleraciones mucho mayores debidas a las interacciones gravitatorias newtonianas.

Tampoco es necesariamente cierto que la existencia de una aceleración anómala conduzca a la expansión de órbitas circulares a lo largo del tiempo. Una aceleración anómala$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}$simplemente actúa como una ligera fuerza repulsiva, lo que equivale a reducir la fuerza de la atracción gravitacional en una pequeña cantidad. La tendencia real en el radio de la órbita a lo largo del tiempo, llamada tendencia secular, es proporcional a$(d/dt)(\ddot{a}/a)$, y esto se desvanece, por ejemplo, en una cosmología dominada por la energía oscura, donde$\ddot{a}/a$es constante Por lo tanto, el efecto distinto de cero (pero indetectablemente pequeño) estimado por Cooperstock et al. porque el sistema solar es una medida de hasta qué punto el universo aún no está dominado por la energía oscura.

El signo del efecto se puede encontrar a partir de las ecuaciones de Friedmann. Supongamos que la energía oscura se puede describir mediante una constante cosmológica$\Lambda$, y que la presión es despreciable en comparación con$\Lambda$y a la densidad de masa-energía$\rho$. Entonces la diferenciación de la ecuación de aceleración de Friedmann da$(d/dt)(\ddot{a}/a)\propto\dot{\rho}$, con una constante de proporcionalidad negativa. Ya que$\rho$está disminuyendo actualmente, la tendencia secular es actualmente un aumento en el tamaño de los sistemas ligados gravitacionalmente. Para una órbita circular de radio$r$, un cálculo directo (ver mi presentación aquí , sec. 8.2) muestra que la tendencia secular es$\dot{r}/r=\omega^{-2}(d/dt)(\ddot{a}/a)$. Esto produce el efecto indetectablemente pequeño en el sistema solar mencionado anteriormente.

En las cosmologías "Big Rip",$\ddot{a}/a$explota hasta el infinito en un tiempo finito, por lo que la expansión cosmológica desgarra toda la materia en escalas cada vez más pequeñas.

Cooperstock, Faraoni y Vollick, "La influencia de la expansión cosmológica en los sistemas locales", http://arxiv.org/abs/astro-ph/9803097v1

Medimos la constante de Hubble localmente: todo lo que sabemos sobre ella proviene de las observaciones de la luz en las proximidades de nuestros telescopios. Pero si restringes los experimentos a una habitación con paredes opacas, entonces no, no se puede medir localmente, porque simplemente cuantifica el movimiento promedio de las galaxias a gran escala, y no hay nada en la habitación que te diga eso. Tenga en cuenta que las respuestas anteriores a esta pregunta, incluida la respuesta aceptada, son incorrectas , ya que todas sugieren que podría medirse localmente en principio, si no en la práctica. El artículo de Cooperstock et al también está equivocado .

El error de Cooperstock et al es fácil de explicar. Asumen que la métrica cosmológica FLRW es precisa a escalas del sistema solar. Puede conectar la métrica FLRW en las ecuaciones de campo de Einstein (o las ecuaciones de Friedmann, que son las ecuaciones de Einstein especializadas en geometrías FLRW) para ver qué implica esto sobre el tensor de tensión-energía. Lo que encontrarás es que han asumido que el sistema solar está uniformemente lleno de materia de cierta densidad y presión. La fuerza que calculan es simplemente el efecto gravitatorio local de la materia que supusieron que estaba presente. Pero en realidad no está allí. Está en otra parte: colapsó en estrellas y planetas. Cuando tratan la fuerza cosmológica como una perturbación por encima de las fuerzas habituales del sistema solar, están contando dos veces toda la materia, una vez en su ubicación real y una vez en la ubicación donde hipotéticamente estaría si no se hubiera agrupado. La materia solo ejerce una influencia gravitacional desde su ubicación real.

La relatividad general es diferente de la gravedad newtoniana, pero no es tandiferente como mucha gente parece imaginar. Sigue siendo una teoría de la gravedad: una fuerza entre objetos masivos que está mediada por un campo. No es una teoría de partículas de prueba siguiendo geodésicas en fondos de espacio-tiempo sin sentido. La geometría FLRW no es un fondo; es el campo gravitatorio de una distribución uniforme de la materia. Podría describirse aproximadamente como un montón de parches de Schwarzschild cosidos y luego alisados. En la vida real, no hay suavizado ni geometría FLRW; solo hay (aproximadamente) los parches locales de Schwarzschild. No existe un factor de escala universal que evolucione al tictac del tiempo absoluto, verdadero y cosmológico; sólo hay movimiento local de objetos gravitantes ordinarios. Sabemos que esto promedia, en grandes escalas, una forma similar a FLRW con protuberancias locales, pero es irrelevante para la naturaleza.

Medir la constante de Hubble en una habitación sellada no es diferente de medir la abundancia de helio en una habitación sellada. Sólo le dirá lo que hay en la habitación. La abundancia en la habitación no tenderá al 25% con el tiempo. No hay un efecto residual sutil del 25% de abundancia que pueda medir localmente. El universo tiene aproximadamente un 25 % de helio porque la mayor parte del helio de los primeros tres minutos todavía está presente, no porque haya un proceso físico local que regula la cantidad de helio.

¿Qué pasa con la energía oscura? La energía oscura, por suposición, no se acumula en absoluto. Puedes medir su efecto gravitacional en la habitación porque está presente en la habitación. La aceleración que medirás no es$\ddot a/a$, porque$\ddot a/a$incorpora el efecto promediado de toda la materia, no solo de las cosas en la habitación. En un futuro lejano, como$Ω_Λ$enfoques$1$, la aceleración que mides se aproximará$\ddot a/a = H^2$, pero no hay forma de que lo sepas a menos que mires fuera de la habitación y observes que no hay nada más ahí fuera. Si la energía oscura se acumula (lo suficientemente pequeña como para evadir los límites experimentales actuales), entonces la cantidad en la habitación puede ser menor o mayor que el promedio. En ese caso, medirá el efecto de lo que realmente hay en la habitación, no el efecto del promedio del que lo toma como una perturbación. La naturaleza no hace teoría de la perturbación.

Lo mismo con la materia oscura. Puede haber algo de eso en la habitación, dependiendo de lo que esté hecho. Si la hay, la densidad probablemente será mayor que el promedio universal, pero podría ser menor o casi igual. En cualquier caso, lo que medirá es lo que realmente hay en la habitación, no lo que estaría allí si la materia oscura no se acumulara.

Aquí hay algunos comentarios sobre partes específicas de otras respuestas.

Para dos partículas de prueba liberadas a distancia$\mathbf{r}$entre sí en un espacio-tiempo FRW, su aceleración relativa viene dada por$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}$.

Eso es correcto. Asumir que la geometría F(L)RW en GR es equivalente a asumir una$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}$campo, o$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}^2/2$potencial, en gravedad newtoniana. Por la ecuación de Poisson que implica materia uniforme de densidad$\ddot{a}/a = -\tfrac43 πGρ$está presente en todas partes.

Dentro del sistema solar, por ejemplo, tal efecto es anulado por las aceleraciones mucho mayores debidas a las interacciones gravitatorias newtonianas.

Eso es incorrecto. El efecto está ausente en el sistema solar porque la materia que lo habría causado está ausente. Esto es obviamente cierto en la gravitación newtoniana; también es cierto en GR.

La tendencia real en el radio de la órbita a lo largo del tiempo, llamada tendencia secular, es proporcional a$(d/dt)(\ddot{a}/a)$

Creo que esto sería correcto si el$(\ddot{a}/a)\mathbf{r}$la fuerza realmente existió.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si la fuerza existiera, sería debida y proporcional a la masa ubicada dentro del radio orbital, por lo que también puede decir que la tendencia es proporcional a$dM/dt$. Esto es válido independientemente de la naturaleza de la masa; podría ser una estrella que pierde masa por el viento solar y la radiación, por ejemplo. Para una órbita circular$mv^2/r=GMm/r^2$, lo que da$dr = d(GM)$si tienes$v$constante, por lo que esto parece razonable.

Si agregara materia FLRW al sistema solar, no obtendría esta tendencia, porque se agruparía en escalas de tiempo mucho más pequeñas. Para seguir la expansión del Hubble a lo largo de largas escalas de tiempo, tendría que comportarse de forma totalmente no física: influir gravitacionalmente en otra materia pero sin ser influenciado por ella, simplemente expandiéndose tranquilamente independientemente de todo lo demás. Esto sucede cuando la materia FLRW es la única materia en el universo, ya que no hay nada que rompa la simetría; de lo contrario no tiene sentido.

si escribes la ecuación de Einstein para el caso de un universo dominado por una constante cosmológica simple y una fuente de materia esféricamente simétrica [...] obtienes una inestabilidad en las órbitas cuyo radio es mayor que algún valor$r_∗$, que es proporcional a$1/(ΛM)$. Esta inestabilidad ultraperiférica representa la expansión del universo que comienza a dominar sobre los objetos que orbitan muy lejos de la estrella [...].

Representa la energía oscura, que está presente localmente, comenzando a dominar. A medida que avanza a radios más grandes, la energía oscura contenida total aumenta aproximadamente como$r^3$, y$r_*$es el radio en el que la fuerza de repulsión de eso es igual a la fuerza de atracción de la masa central. La masa fuera de ese radio puede despreciarse mediante el teorema de la capa/teorema de Birkhoff. Esto no te dice la constante de Hubble o el factor de escala; solo te dice la densidad local de energía oscura, que como mencioné antes se puede medir dentro de la habitación opaca.

La respuesta de Ben Crowell es correcta, pero agrego un punto para enfatizarlo, porque este tema sigue surgiendo. Aquí está el punto:

La expansión cosmológica es movimiento de CAÍDA LIBRE.

Lo que esto significa es que los cúmulos de galaxias en las escalas más grandes simplemente se mueven libremente. Están en el tipo de movimiento llamado 'caída libre'. Significa que están avanzando, con su velocidad evolucionando de acuerdo con lo que diga la gravedad neta promedio del cosmos en su conjunto. No existe una "fuerza inexorable de expansión del espacio" ni nada por el estilo. No están siendo transportados por algún equivalente cósmico de placas tectónicas. Simplemente están cayendo. En lenguaje técnico, sus líneas de tiempo son geodésicas. Esto debería ayudarlo a comprender por qué las fuerzas dentro de las galaxias y dentro de los cuerpos ordinarios mantendrán juntas esas galaxias y esos cuerpos de la manera normal. No es esencialmente diferente de los objetos que caen a la Tierra bajo la gravedad local: la gravedad de la Tierra ofrece un pequeño efecto de estiramiento/compresión,

Si de alguna manera pudieras apagar la atracción gravitacional dentro del sistema solar y la galaxia y el cúmulo local, y todas las fuerzas electromagnéticas y de otro tipo, entonces, y solo entonces, las partes del sistema solar comenzarían a separarse bajo la caída libre cósmica. movimiento, comúnmente llamado la expansión del espacio.

El corazón de esto es que la gravedad de la estrella es mucho más fuerte que la cizalla expansiva de la expansión del universo que puedes ignorar la cizalla por completo.

Dicho esto, si escribe la ecuación de Einstein para el caso de un universo dominado por una constante cosmológica simple y una fuente de materia esféricamente simétrica, obtiene una métrica que es diferente de la métrica de Schwarzschild, modificada por el término constante cosmológica. Además de la conocida inestabilidad en$r=6M$(con su ubicación modificada por la$\Lambda$término, también obtiene una inestabilidad en órbitas cuyo radio es mayor que algún valor$r_{*}$, que es proporcional a$1/(\Lambda M)$. Esta inestabilidad exterior representa la expansión del universo que empieza a dominar sobre los objetos que orbitan muy lejos de la estrella (recordemos que$\Lambda$es típicamente muy pequeña en relación con otras cantidades físicas).

¿Se puede medir localmente la constante de Hubble?

Para responder a la pregunta, se deben hacer ciertas distinciones. ¿Qué quiere decir uno con "localmente". Estrictamente local significa una pequeña región. La medición de la constante de Hubble significa hacer una comparación entre mediciones verdaderamente locales (por ejemplo, reglas o radar dentro del sistema solar cercano) y mediciones a escalas más grandes. Entonces, en las escalas más pequeñas, es decir, en el sentido estricto de "localmente", solo se estaría haciendo una comparación entre las mediciones locales y ellas mismas. Por supuesto, las medidas locales son iguales a sí mismas, por lo que no se puede medir la expansión.

Dentro de un sistema ligado gravitacionalmente, como una galaxia o un cúmulo ligado gravitacionalmente, no hay expansión. No hay medición de la constante de Hubble dentro del Grupo Local de galaxias, por ejemplo. En escalas mayores, medimos la constante de Hubble para galaxias en retroceso. En escalas cósmicas, esto aún podría considerarse como "local". Personalmente, no me sentiría cómodo con esa definición. El hecho es que la constante de Hubble se mide para la recesión de galaxias dentro de una vecindad del Sol, pero fuera del grupo local y fuera de los sistemas ligados gravitacionalmente. Es una cuestión de principio fundamental que esto sea así, y desde este punto de vista no puede haber una medida "local" de la constante de Hubble.

Sin embargo, queda que medimos la constante de Hubble de la recesión de las galaxias que podemos ver. Es decir, galaxias dentro del horizonte, o dentro del cono de luz. Yo llamaría a esto un barrio, en lugar de una localidad, pero el idioma generalmente no es tan preciso como para esperar que todos estén de acuerdo. La constante de Hubble se aplica dentro de este vecindario y fuera de nuestra localidad inmediata.

En escalas más grandes, solemos aplicar la constante de Hubble a la expansión del universo como un todo. Pero esto requiere una suposición adicional masiva, a saber, el principio cosmológico, que en escalas de distancia lo suficientemente grandes, el universo es homogéneo e isotrópico. Si bien el principio cosmológico es, al menos superficialmente, extremadamente razonable y difícil de discutir, solo pretende ser una aproximación y claramente no es aplicable a escalas pequeñas donde la materia no se distribuye uniformemente. No da una indicación real de qué tan grande es la escala de distancia necesaria para su correcta aplicación. En consecuencia, es muy posible (y estoy seguro de que también es cierto) que el principio cosmológico solo sea correcto en escalas de distancia mayores que el universo observable. La implicación es que la constante de Hubble puede ser cierta para la recesión de galaxias dentro del universo observable, pero que no da una medida de la tasa de expansión del universo como un todo. he escrito un papelen el que argumento que deberíamos distinguir la constante de Hubble para la tasa de recesión local de las galaxias de la constante de Le Maitre, para la tasa de expansión del universo como un todo (con un factor de aproximadamente 2 para la diferencia entre estas tasas).