¿Cómo podría el universo ser espacialmente plano en promedio, si todas las formas de energía tienen una curvatura espacial positiva?

Question

¿Cómo podría el universo ser espacialmente plano en promedio, si todas las formas de energía tienen una curvatura espacial positiva?

adam herbst

EDITAR: Indiqué mal el entendimiento actual, gracias Koschi por el comentario.

En el $\Lambda$ Modelo CDM, se dice que la energía del vacío prácticamente "equilibra" la materia bariónica, de modo que la curvatura general del espacio es plana.

Pero si considera la curvatura espacial de Ricci, ¡tanto la energía oscura como la materia bariónica tienen una curvatura positiva! Para ver esto, simplemente conecte la ecuación de estado de la energía oscura, $p = -\rho$ , en la ecuación de Einstein y elija un marco ortonormal:

$R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} - \frac12 T^{\alpha}_{\alpha}g_{\mu\nu} \\ = -\rho\eta_{\mu\nu} - \frac12 (-\rho - 3\rho)\eta_{\mu\nu} \\ = \rho\eta_{\mu\nu}$

con $\eta_{\mu\nu}$ la métrica de Minkowski (-+++). Entonces la curvatura espacial es positiva.

La diferencia es que la energía oscura tiene una curvatura negativa a lo largo de las direcciones temporales (por lo tanto, acelera la expansión), mientras que la materia ordinaria tiene una curvatura temporal positiva (por lo tanto, la gravedad). Pero si hablamos de curvatura espacial, todo es positivo, entonces, ¿cómo pueden cancelarse entre sí? ¿No tendría el espacio una curvatura positiva neta, de modo que, si no termina abruptamente en algún lugar, tiene que cerrarse en algo así como una esfera tridimensional?

La diferencia en la curvatura temporal debería determinar si seguimos expandiéndonos o si experimentamos una gran contracción, así que esa parte la entiendo.

¿O la distinción entre la curvatura espacial y la temporal se rompe de alguna manera en las escalas cósmicas, como si el espacio y el tiempo se "mezclaran" en un agujero negro? ¿Si es así, cómo?

Koschi

No creo que el componente dominante por sí solo decida sobre el cierre espacial o no... ¿no es en general importante si la densidad de energía total está por encima, igual o por debajo de la densidad crítica? Hoy el

Λ

$\Lambda$ El modelo CDM asume el dominio de la energía oscura, pero sigue siendo un universo más o menos plano, no abierto.

adam herbst

@Koschi Gracias por esa aclaración, actualizaré la pregunta: debería haber dicho plano en lugar de abierto (el espacio plano podría estar abierto o cerrado, porque esa es una cuestión de topología en lugar de curvatura). Pero todavía no lo entiendo: ¿cómo podría el espacio ser plano en promedio, si tiene una curvatura positiva en todas partes?

Eduardo

He tendido a suponer (quizás erróneamente, por lo que creo que su pregunta puede ser buena) que, haciendo las suposiciones habituales de homogeneidad e isotropía (cualquiera de las dos o ambas pueden ser incorrectas), el volumen del espacio observable actualmente parece ser más plano que curvo, algo así como algo más negro que gris sería llamado negro. Si estuviera juzgando la masa en lugar del volumen, la respuesta sería diferente, pero, a juzgar por cambios tan observados durante mucho tiempo como la fragmentación del cuarto planeta original de nuestra estrella, así como el lenguaje ordinario, el espacio-tiempo (no el espacio solo ) estaría bajo consideración.

Eduardo

Pensándolo bien, creo que la pregunta es buena: la desintegración del cuarto planeta, si hubiera ocurrido antes del tiempo estimado, habría aumentado la curvatura puramente espacial, ya que más de las partículas resultantes (asteroides) originalmente habrían sido fundido, y en consecuencia redondeado (aumentando así la curvatura del espacio adyacente); mientras que, si hubiera ocurrido más tarde, más de ellos habrían sido sólidos y, en consecuencia, irregulares (lo que tiende a dejar plana una mayor parte del área de las superficies espaciales adyacentes).

Eduardo

Aunque otros aspectos de su modelo cosmológico parecen poco realistas, la falta de homogeneidad (que se manifiesta a través de vacíos, en lugar de energía oscura) parece ser un aspecto (con alguna confirmación de los datos de CMB) del modelo de Mersini-Houghton que tal vez desee observar.

adam herbst

@Edouard Ahora mismo, lo revisaré, gracias por los comentarios

Respuestas (1)

¿Cómo podría el universo ser espacialmente plano en promedio, si todas las formas de energía tienen una curvatura espacial positiva?

No creo que el componente dominante por sí solo decida sobre el cierre espacial o no... ¿no es en general importante si la densidad de energía total está por encima, igual o por debajo de la densidad crítica? Hoy el $\Lambda$ El modelo CDM asume el dominio de la energía oscura, pero sigue siendo un universo más o menos plano, no abierto.
@Koschi Gracias por esa aclaración, actualizaré la pregunta: debería haber dicho plano en lugar de abierto (el espacio plano podría estar abierto o cerrado, porque esa es una cuestión de topología en lugar de curvatura). Pero todavía no lo entiendo: ¿cómo podría el espacio ser plano en promedio, si tiene una curvatura positiva en todas partes?
He tendido a suponer (quizás erróneamente, por lo que creo que su pregunta puede ser buena) que, haciendo las suposiciones habituales de homogeneidad e isotropía (cualquiera de las dos o ambas pueden ser incorrectas), el volumen del espacio observable actualmente parece ser más plano que curvo, algo así como algo más negro que gris sería llamado negro. Si estuviera juzgando la masa en lugar del volumen, la respuesta sería diferente, pero, a juzgar por cambios tan observados durante mucho tiempo como la fragmentación del cuarto planeta original de nuestra estrella, así como el lenguaje ordinario, el espacio-tiempo (no el espacio solo ) estaría bajo consideración.
Pensándolo bien, creo que la pregunta es buena: la desintegración del cuarto planeta, si hubiera ocurrido antes del tiempo estimado, habría aumentado la curvatura puramente espacial, ya que más de las partículas resultantes (asteroides) originalmente habrían sido fundido, y en consecuencia redondeado (aumentando así la curvatura del espacio adyacente); mientras que, si hubiera ocurrido más tarde, más de ellos habrían sido sólidos y, en consecuencia, irregulares (lo que tiende a dejar plana una mayor parte del área de las superficies espaciales adyacentes).
Aunque otros aspectos de su modelo cosmológico parecen poco realistas, la falta de homogeneidad (que se manifiesta a través de vacíos, en lugar de energía oscura) parece ser un aspecto (con alguna confirmación de los datos de CMB) del modelo de Mersini-Houghton que tal vez desee observar.
@Edouard Ahora mismo, lo revisaré, gracias por los comentarios

Asperanz · Answer 1

Creo que vale la pena tener en cuenta que la curvatura espacial intrínseca no es lo mismo que los componentes espaciales del tensor de Ricci del espacio-tiempo. En cambio, el tensor de Ricci intrínseco $\mathcal{R}_{ij}$ y el espacio-tiempo tensor de Ricci $R_{\mu\nu}$ están relacionados por una ecuación algo complicada que implica la curvatura extrínseca $K_{ij}$ de la superficie espacial y la aceleración $a_i$ de la unidad normal:

R_{i j} = {mi}_{i}^{m} {mi}_{j}^{v} R_{m v} + 2 k_{i}^{k} k_{k j} - k k_{i j} - L_{tu} k_{i j} + D_{i} a_{j} + a_{i} a_{j}

$\mathcal{R}_{ij} = e^\mu_i e^\nu_jR_{\mu\nu} + 2K_i{}^k K_{kj} - K K_{ij} - \mathcal{L}_uK_{ij} + D_i a_j + a_i a_j$ dónde

e_{i}^{μ}

$e^\mu_i$ es un proyector sobre las direcciones tangentes de las hipersuperficies espaciales, y

L_{u}

$\mathcal{L}_u$ es la derivada de Lie con respecto a la unidad normal

u^{α}

$u^\alpha$ . En un espacio-tiempo FRW, la isotropía requiere la aceleración

a_{i}

$a_i$ desaparecer, pero la curvatura extrínseca

K_{i j}

$K_{ij}$ no se desvanece; más bien, es proporcional a la métrica espacial inducida (nuevamente por isotropía). Aproximadamente, la curvatura extrínseca es la derivada temporal de la métrica espacial y, por lo tanto, es distinta de cero debido a la dependencia del tiempo en el factor de escala. Para espaciotiempos FRW espacialmente planos, la geometría intrínseca es realmente plana, por lo que

R_{i j} = 0

$\mathcal{R}_{ij}=0$ . Sin embargo, esto no requiere las proyecciones espaciales de

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ para desaparecer; en cambio, solo necesitan cancelarse contra los términos de curvatura extrínseca en la ecuación anterior. Así que no hay inconsistencia en tener los componentes espaciales de

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ ser positivo y al mismo tiempo tener la geometría intrínseca plana.

¡Muchas gracias, esto es sin duda lo que me estaba perdiendo! Ahora bien, ¿existe una interpretación geométrica intuitiva del significado del tensor de Ricci intrínseco? A primera vista, no encuentro nada útil en mis búsquedas y, como dices, sería una pesadilla descifrar esos 5 términos. ¿Y por qué es ese el que medimos la curvatura espacial del universo?
En los espaciotiempos de FRW, asumimos que la parte espacial de la métrica es un factor de escala multiplicado por un espacio simétrico máximo (esto se deriva de los supuestos de homogeneidad e isotropía). En este caso, el tensor espacial de Ricci tiene toda la información sobre la curvatura espacial (de hecho, el escalar de Ricci tiene toda la información, ya que $\mathcal{R}_{ij}$ es proporcional a la métrica espacial). Por lo tanto, es solo una de varias cantidades diferentes que detecta si la geometría espacial es plana, curvada positivamente o curvada negativamente.
También en FRW, la ecuación anterior se simplifica mucho, ya que la curvatura extrínseca es proporcional a la métrica espacial, $K_{ij} = H h_{ij}$ , dónde $H$ es la tasa de Hubble. Entonces terminarías con una ecuación que involucra $H$ y $\dot{H}$ , y utilizando la ecuación de Einstein, la presión y la densidad de energía. Esta sería solo una de las ecuaciones diferenciales habituales para la tasa de Hubble que se obtiene al encontrar soluciones FRW cosmológicas.

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