Sistemas ligados gravitacionalmente en un universo en expansión

Esta aún no es una pregunta completa; más bien, estoy buscando una pregunta y respuesta de nivel cualitativo que describa un sistema ligado gravitacionalmente en un universo en expansión. Dado que es un nivel cualitativo, esto necesita un modelo muy simplificado, preferiblemente uno en un marco newtoniano (si esto es posible) que al menos muestre el espíritu de lo que sucede. Si no es posible, y hay algún principio importante que cualquier modelo newtoniano pasará por alto, eso es probablemente lo primero que se debe señalar. De lo contrario, ...

Estoy pensando en una configuración que comienza algo como esto:

Un cuerpo de masa$m$orbita otra de masa$M \gg m$(tomado como el origen) en un círculo de radio$R$(y en consecuencia con un período$T = 2 \pi \sqrt{ R^3 / GM }$). En el momento$t = 0$, el espacio comienza a expandirse lentamente a una tasa de Hubble constante$H$(donde "lentamente" significa$HT \ll 1$, de modo que la expansión en un período es despreciable en comparación con el radio orbital).

Ahora aquí es donde no estoy seguro de cómo expresar el problema. En cambio, estoy pensando en algo así como los problemas de "cuenta en un poste". Luego, la cuenta tiene coordenadas lagrangianas generalizadas en relación con una posición fija en el polo, pero el polo se expande de acuerdo con alguna función externa.$a(t)$, a la métrica FLRW (para una tasa de Hubble constante,$H = \dot a / a$y entonces$a(t) = e^{Ht}$). Entonces, podemos llamar a la distancia de la cuenta desde el origen en "unidades de co-movimiento" la coordenada Lagrangiana$q$. Entonces la distancia de la cuenta desde el origen es$d(t) = q(t) a(t)$, dándonos un Lagrangiano dependiente del tiempo.

Básicamente, necesito una versión 3D de esto que funcione para el sistema gravitacionalmente descrito. También espero que el problema se pueda resolver como un proceso adiabático, lo que podría significar cambiar las coordenadas para estar alrededor de la posición original en relación con el cuerpo más masivo en el origen, en lugar de coordinar el movimiento de las coordenadas.

EDICIÓN 1: No diré que entendí completamente los detalles del trabajo de Schirmer, pero creo que uno de los puntos principales es que la expansión cosmológica daña la estabilidad de las órbitas circulares y hace que se deterioren. Terminé mi modelo "newtoniano" muy manual de un sistema solar en un universo en expansión, y no creo que capture la esencia de esta parte de la solución GR. El modelo tiene varias propiedades sensibles:

• Hay una distancia en la que las soluciones ligadas son imposibles y se garantiza que los dos cuerpos se expandirán alejándose uno del otro.
• Todavía hay una órbita circular (no he comprobado que sea estable) cuyo radio se modifica por un término que implica la constante de Hubble.
• Usando parámetros solares, este cambio es completamente insignificante; es más grande (aunque todavía pequeño) en una escala galáctica.

Aquí está el modelo:

Sin este factor de escala, el Lagrangiano sería

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{r}$$ Agregando el factor de escala, todos los términos cinéticos tomarán un factor $e^{2Ht}$y el potencial un factor $e^{-Ht}$: $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) e^{2Ht}+ \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ (No he agregado ningún derivado del factor de escala; esto significaría que solo estaba cambiando las coordenadas y no agregando una expansión del espacio controlada externamente). Dado que el problema es esféricamente simétrico, el momento angular total se conserva y el movimiento se encuentra en un plano (la expansión del espacio no cambia esto) en $\theta = \pi/2$. Esto reduce el Lagrangiano efectivo a $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 \right) e^{2Ht} + \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ Ahora vamos a cambiar las coordenadas a $r = \eta e^{-Ht}$. Esto representa un punto que es estacionario con respecto al origen (es decir, el cuerpo masivo que orbita el cuerpo más pequeño). Después $\dot r e^{Ht}= \dot \eta - H \eta$, por lo que el lagrangiano se convierte en $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left((\dot \eta - H \eta)^2 + \eta^2 \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{\eta}$$ Esto parece un Lagrangiano que ha sido ligeramente modificado por el parámetro $H$. Después de estas manipulaciones, $\phi$sigue siendo una coordenada cíclica, y su momento conjugado $p_\phi = m\eta^2 \dot \phi = L$aún se conserva. El impulso conjugado a $\eta$es $$p_{\eta} = m (\dot \eta - H \eta)$$ Entonces, la ecuación de movimiento para $\eta$es $$m \frac{d}{dt} (\dot \eta - H \eta) = m (\ddot \eta - H \dot \eta) = - mH(\dot \eta - H \eta) + m \eta \dot \phi^2 - \frac{GMm}{\eta^2}$$ Cancelando términos y sustituyendo en la ecuación de movimiento por $\phi$, esto se convierte $$\ddot \eta = H^2 \eta + \frac{L^2}{m^2 \eta^3} - \frac{GM}{\eta^2}$$ Entonces, la expansión del espacio se muestra como un término de fuerza proporcional a $\eta$. Para grande $\eta_0$en el momento $t = 0$, hay una solucion $\eta(t) = \eta_0 e^{Ht}$, dónde $\dot \eta = H \eta$concuerda con la ley de Hubble (la correspondiente coordenada comoviva es $r(t) = \eta_0$). También existe una solución orbital altamente inestable para grandes $\eta$, donde la fuerza gravitacional equilibra la expansión cosmológica. Este nuevo término también cambia ligeramente la ubicación de la "órbita estable" (no he comprobado que realmente sea estable en esta situación). La ubicación de la órbita circular estable cuando $H = 0$es $$\eta_0 = \frac{L^2}{GMm^2}$$ Entonces deja $$\eta = \eta_0 + \delta \eta = \eta_0 \left( 1 + \frac{\delta \eta}{\eta_0} \right)$$ Al orden más bajo, el cambio en la ubicación de la órbita estable es $$\frac{\delta \eta}{\eta_0} = \frac{H^2}{GM/\eta_0^3 - H^2}$$ Para la órbita de la tierra alrededor del sol, este cambio sería completamente insignificante, alrededor de las 15 horas. Tomando la masa como la masa de la Vía Láctea y la distancia a la distancia del Sol desde el centro, el cambio sería un poco mayor, una cantidad fraccionaria de alrededor de 2e-7, que son varios cientos de AU, pero todavía en gran medida pequeña.