¿El espacio-tiempo está simplemente conectado?

Como dije en una pregunta mía anterior, soy un matemático con muy pocos conocimientos de física, y pregunto aquí cosas que me interesan/cosas que me ayudarán a aprender.

Esto entra en la categoría de cosas que me interesan. ¿Ha considerado la gente si el espacio-tiempo está simplemente conectado ? De manera similar, uno puede preguntar si es contraíble, cuáles son sus números de Betti, su característica de Euler, etc. ¿Cuál sería el significado físico de que no esté simplemente conectado?

No me atrevo a abordar esto, pero supongo que el espacio de cuatro dimensiones no lo es, ya que está dividido en regiones similares al espacio y al tiempo y las dos nunca se encontrarán. Luego están todos esos espacios plegados en las teorías de cuerdas, variedades de Calabi Yao con muchos agujeros. Ciertamente estamos apuntando a espacios no simplemente conectados si los incluimos en el espacio.
Posiblemente relacionado: physics.stackexchange.com/q/1787/2451
Anna V, la primera parte de tu comentario indicó que hablas más de conexión causal, lo cual no es realmente pertinente cuando se habla de estructuras topológicas globales.
Dos hechos ligeramente relacionados desde que mencionó "característica de Euler y demás" (pero con poca relación con la pregunta en el título): 1. A veces se supone que la variedad de espacio-tiempo es espín . (Por ejemplo, este hecho se usa en la prueba de Witten del teorema de la masa positiva). Esto requiere la desaparición de la segunda clase de Stiefel-Whitney, que le dice algo sobre la topología.
2. Hay un pequeño teorema que dice lo siguiente: dada una variedad lorentziana conexa de (1+3) dimensiones, su cubierta universal no puede ser compacta. (Bosquejo de la prueba: la métrica lorentziana distingue las direcciones del tiempo. Por lo tanto, existe una sección que no desaparece del paquete de esferas tangentes. Por lo tanto, la característica de Euler debe ser 0. Pero usando la dualidad de Poincaré, la característica de Euler de un 4-variedad compacto simplemente conectado está en menos 2.)
Existen algunas restricciones en la topología que provienen de la interacción de la topología y la geometría diferencial (piense en el teorema de Gauss-Bonnet), pero es moralmente correcto decir que GR no impone una topología. Creo que es posible construir espacios que satisfagan las ecuaciones de Einstein con más o menos cualquier tipo de homotopía que desee.
@WillieWong relacionado con su comentario es el hecho de que todas las 4 variedades tienen una estructura de espín .
@AnnaV: el espacio de Minkowski se divide en regiones similares al espacio y al tiempo, pero simplemente está conectado.

Respuestas (2)

Supongo que hay muchos aspectos desde los que mirar esto, anna v mencionó cómo las variedades de Calabi-Yao en la teoría de cuerdas (¿podrían?) Tener muchos agujeros, abordaré la pregunta desde una perspectiva puramente de relatividad general en cuanto a la topología global.

Las soluciones en las Ecuaciones de Einstein en sí mismas no revelan nada sobre la topología global excepto en casos muy específicos (sobre todo en 2 (dimensiones espaciales) + 1 (dimensión temporal) donde la teoría se vuelve completamente topológica). Una métrica por sí misma no impone necesariamente límites a la topología de una variedad.

Más allá de esto, hay un teorema de la relatividad general, llamado Hipótesis de la censura topológica , que establece esencialmente que cualquier desviación topológica de la simplemente conectada colapsará rápidamente, dando como resultado una superficie simplemente conectada. Este trabajo asume un espacio-tiempo asintóticamente plano, que es generalmente el modelo aceptado (como se muestra en la investigación del corrimiento al rojo de las supernovas y cosas de esa naturaleza).

Otro aspecto de esta pregunta es que el universo generalmente se considera homogéneo e isotrópico en todas las direcciones, los defectos topológicos significarían que esto no sería cierto. Aunque eso realmente no es una respuesta convincente por decir ...

Las variedades de Calabi-Yau suelen tener agujeros de "dimensiones superiores" (es decir, los que son detectados por grupos de homotopía superiores pero no por el grupo fundamental). De hecho, para cualquier variedad de Calabi-Yau hay una cubierta finita que es producto de un toro y una variedad de Calabi-Yau simplemente conexa.
¿Qué pasa con las singularidades de cuerdas eternas? Por cierto, parece que el documento citado solo impide "probar la topología" e incluso en tal caso puede haber alguna laguna en la prueba.
No estoy familiarizado con las singularidades de cadenas eternas, ¿hay algún recurso que conozca sobre ellas?
es algo asi
Jajaja... el documento requiere una finalización conforme del espacio-tiempo con partes tanto del futuro como del pasado homeomorfas a S² × ℝ. Ciertamente no es así para el pasado de un universo formado a partir de la singularidad cosmológica (el punto de partida del Big Bang).
"Este trabajo asume un espacio-tiempo asintóticamente plano, que es generalmente el modelo aceptado (como se muestra en la investigación del corrimiento al rojo de las supernovas y cosas de esa naturaleza)". El universo no es plano asintótico porque es homogéneo a escalas cósmicas, por lo que no hay una dirección en el espacio en la que puedas moverte que haga que el universo tienda hacia Minkowski. Si incluye tomar el límite futuro lejano del universo en su definición de asintótico, entonces el universo es asintóticamente de Sitter, debido a la constante cosmológica que domina el universo en el futuro lejano.

La respuesta de Benjamin Horowitz cubrió muchos de los puntos clave, pero vale la pena agregar que la cuestión de la topología del universo ha sido investigada por observaciones astrofísicas. Si el universo está conectado de forma múltiple, y si la escala de longitud es más corta que la escala del horizonte, entonces deberíamos poder ver evidencia de ello.

Para tomar un ejemplo simple, imagine que el universo es geométricamente plano pero tiene la geometría de un 3-torus. Específicamente, tome un volumen cúbico e identifique las caras opuestas, de modo que si "sale" del cubo por una cara, vuelva a entrar por la cara opuesta. Si la longitud de una arista del cubo es lo suficientemente pequeña, podrías ver múltiples copias de cualquier objeto dado. Por supuesto, si la longitud es mucho mayor que el horizonte, entonces no hay forma de saber la diferencia entre este modelo y uno en el que el espacio es infinito.

La mejor forma de probar estos modelos es la técnica de los " círculos en el cielo ", en la que se buscan círculos correlacionados en diferentes direcciones en mapas de la radiación de fondo de microondas. El resultado es negativo : no vivimos en un universo multiconexo con una escala de longitud suficientemente corta para ser observable.

Recientemente aparece una preimpresión allí también se utilizan los datos WMAP, pero con la afirmación sobre la posibilidad de un Universo multiconectado con topología espacial T 2 × R . Parece que aún no está publicado en una revista, pero la idea ya está reproducida en Wikipedia .
Gracias por la referencia. Me había perdido eso. Como lo entiendo de un vistazo rápido, la idea aquí es mirar el caso donde el tamaño de celda fundamental es más grande que el horizonte (para que la técnica de círculos en el cielo no funcione) pero no mucho más grande (o de lo contrario no habría efectos observables en absoluto). En principio, esto es algo sensato, pero en este tipo de análisis los detalles importan mucho, y no he mirado con suficiente cuidado como para tener una opinión sensata sobre los detalles.
@TedBunn, creo que su ejemplo de los tres toros es engañoso. Uno puede tener fácilmente un espacio no simplemente conectado (por ejemplo, un agujero de gusano que conecta dos regiones) y aún así tener un espacio-tiempo simplemente conectado. Un ejemplo simple de baja dimensión de esto es un círculo (no simplemente conectado, que limita un disco de dos (simplemente conectado).
¿El espacio-tiempo está simplemente conectado?
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