Modos rápido y lento, y la desaparición de ciertos diagramas durante la renormalización

Question

Modos rápido y lento, y la desaparición de ciertos diagramas durante la renormalización

jonathan gleason

En medio de la pág. 452 de Atland y Simonss Condensed Matter Field Theory , afirman lo siguiente:

Términos de $\mathcal{O}(\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}})$ no surgen porque la suma de un momento rápido y tres momentos lentos es incompatible con la conservación del momento.

Mi pregunta es simplemente: ¿por qué? Ingenuamente, parece que tres impulsos lentos podrían sumarse para dar un impulso rápido.

Ahora trataré de dar más detalles para que no necesite revisar el libro usted mismo. el contexto es $\phi ^4$ teoría:

S (ϕ) := \int d X [\frac{1}{2} | \nabla ϕ |^{2} + \frac{r}{2} | ϕ |^{2} + \frac{λ}{4!} | ϕ |^{4}] .

$S(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2+\tfrac{\lambda}{4!}|\phi |^4\right] .$ Hemos elegido un factor de escala de renormalización

b \geq 1

$b\geq 1$ y un corte de impulso

Λ

$\Lambda$ suficientemente grande para que

\int_{| p | > Λ} \hat{ϕ} (p) \exp (i p x)

$\int _{|p|>\Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)$ es despreciable. Entonces definimos

ϕ_{s} (X) := \frac{1}{(2 π)^{d / 2}} \int_{| pag | \leq Λ / b} \hat{ϕ} (pag) Exp (i pag X) y \frac{1}{(2 π)^{d / 2}} ϕ_{F} := \int_{Λ / b < pag \leq Λ} \hat{ϕ} (pag) Exp (i pag X),

$\phi _{\text{s}}(x):=\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\int _{|p|\leq \Lambda /b}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)\text{ and }\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\phi _{\text{f}}:=\int _{\Lambda /b<p\leq \Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px),$ dónde

d

$d$ si por supuesto la dimensión del espacio, de modo que

ϕ = ϕ_{s} + ϕ_{f}

$\phi =\phi _{\text{s}}+\phi _{\text{f}}$ . Entonces, tenemos que

S (ϕ) = S (ϕ_{<}) + S_{0} (ϕ_{>}) + \frac{λ}{4!} \int d X [ϕ_{F}^{4} + 4 ϕ_{F}^{3} ϕ_{s} + 6 ϕ_{F}^{2} ϕ_{s}^{2} + 4 ϕ_{F} ϕ_{s}^{3}],

$S(\phi )=S(\phi _<)+S_0(\phi _>)+\frac{\lambda}{4!}\int \mathrm{d}x\, \left[ \phi _{\text{f}}^4+4\phi _{\text{f}}^3\phi _{\text{s}}+6\phi _{\text{f}}^2\phi _{\text{s}}^2+4\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3\right] ,$ dónde

S_{0} (ϕ) := \int d X [\frac{1}{2} | \nabla ϕ |^{2} + \frac{r}{2} | ϕ |^{2}] .

$S_0(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2\right] .$ Entonces calculamos

- en (\int d ϕ_{F} Exp (- S (ϕ))),

$-\ln \left( \int \mathrm{d}\phi _{\text{f}}\exp \left( -S(\phi )\right) \right) ,$ que es una suma sobre diagramas de vacío conectados en el

ϕ_{f}

$\phi _{\text{f}}$ teoría.

Una afirmación equivalente es que entonces todo diagrama que involucra un vértice que surge del término $\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3$ desaparece No solo no entiendo su heurística de que esto es incompatible con la conservación del momento, sino que tampoco veo cómo estos diagramas se desvanecen cuando calculo cuidadosamente cuál debería ser su valor usando las reglas de Feynman. Una respuesta ideal debería ser capaz de explicar este desvanecimiento de forma esquemática.

Respuestas (1)

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vik · Answer 1

Considere la función de partición

Z = \int D ϕ {mi}^{- S_{0} - S_{I}},

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0 - S_I},$ dónde

S_{0}

$S_0$ es la parte gaussiana/libre y

S_{I}

$S_I$ es la parte de interacción de la acción. Dentro de un marco perturbativo podemos aspirar a incluir sistemáticamente las contribuciones de los modos rápidos a la acción (efectiva) de los modos lentos. Para ello ampliamos la fuerza de interacción como

Z = \int D ϕ {mi}^{- S_{0}} [1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{norte!} (S_{I})^{norte}] = \int D ϕ {mi}^{- S_{0}} [1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{norte!} ⟨ S_{I} ⟩_{F}^{norte}],

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} (S_I)^n \right] = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \langle S_I \rangle_f^n \right],$ donde el promedio se realiza sobre los modos rápidos (de ahí el subíndice

f

$f$ ). El

ϕ_{s}^{3}

$\phi_s^3$ (o el

ϕ_{s}

$\phi_s$ ) el vértice no surge en el anterior por dos razones.

Para $n = 1$ : $\langle \phi_s^3 \phi_f \rangle_f = \phi_s^3 \langle \phi_f \rangle_f = 0$ porque $\langle \phi_f \rangle_f = 0$ , ya que no estamos en una fase de ruptura de simetría en la que el campo puede tener un valor esperado distinto de cero.
Para $n>1$ : Aquí podemos contratar modos rápidos con origen en diferentes vértices. Sin embargo, $\phi_s^3$ el vértice no se genera porque no hay ningún proceso en un $\phi^4$ teoría que puede producir una $\phi^3$ vértice. Considere un diagrama general hecho de $V$ vértices, que contiene $I$ líneas internas o propagadores, y $E$ líneas externas. Estos números están restringidos como
$4 V - 2 I = mi,$ $4V - 2I = E,$ debido a la "conservación del número de patas" en cada vértice. Claramente, $E$ no puede ser extraño ya que $V$ y $I$ son enteros positivos. Entonces, $E=3$ diagramas (que contribuyen a $\phi_s^3$ vertex) no se generan, o de manera equivalente son idénticamente cero.

"Sin embargo, $\phi _s^3$ el vértice no se genera porque no hay ningún proceso en un $\phi ^4$ teoría que puede producir una $\phi ^3$ vértice." ---- Siento que este argumento es circular... Parte de lo que nos gustaría mostrar es que, después de una transformación RG, no generamos ningún término nuevo en la acción (al menos en el orden estamos trabajando). Es concebible que podamos generar un $\phi ^3$ término después de la re-normalización, en cuyo caso la teoría obviamente podría producir un $\phi ^3$ vértice. ¿En serio estoy malinterpretando algo?
"Claramente, $E$ no puede ser extraño ya que $V$ y $I$ son números enteros positivos". ---- Claro, pero ¿qué pasa con, por ejemplo, $E=6$ . Por ejemplo, considere un diagrama con dos $\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}}$ vértices con los dos $\phi _{\text{f}}$ piernas contraidas. Esto produce un diagrama con $6$ piernas lentas externas, no? De hecho, es este diagrama específico el que he estado luchando para mostrar que se desvanece durante los últimos días.
Primer comentario de @JonathanGleason: en un esquema de renormalización perturbativa, los vértices resultantes después de integrar los modos de alta energía pueden verse como aquellos que se generan al contraer las patas de modo rápido de los vértices de nivel de árbol. En el $\phi^4$ teoría hay 4 vértices con patas de modo rápido (ref: el cuerpo de la pregunta). Contraerlos entre sí no puede generar vértices con un número impar de tramos en modo lento. Se seguiría una prueba de la restricción que cité en mi respuesta anterior.
2do comentario: vértices de orden superior como $\phi_s^{2n}$ con $n\geq 3$ siempre se generan mediante el procedimiento de integración. Podemos ignorarlos, porque no afectan las funciones beta de los parámetros de flujo en la teoría. En otras palabras, dado que el vértice de interacción en la acción a nivel de árbol es marginal, todos los vértices de orden superior son irrelevantes. Esta expectativa general debería mantenerse a menos que estemos integrando algunos modos de energía cero en nuestro esquema wilsoniano RG.
¿Cómo sabemos a priori que los vértices de la forma $\phi ^{2n}$ con $n\geq 3$ será irrelevante. Una vez más, ¿no necesitamos completar el procedimiento de renormalización para verificar esto con precisión? Claro, uno puede hacer un análisis dimensional y obtener que el 'título de ingeniería' sugiera que serán irrelevantes, pero para probar que esta expectativa es correcta, ¿no tenemos que hacer el procedimiento completo de renormalización?
En particular, ¿tengo razón al decir que podemos ignorar el diagrama que me preocupa, no porque desaparezca, sino porque su contribución es irrelevante? En otra nota, ¿cómo se relaciona esto con la "conservación del impulso"? ¿Es el significado de esto simplemente que uno no puede producir vértices con un número impar de modos lentos?
Con respecto a ignorar vértices irrelevantes: hay ciertos casos de teorías de campo en los que se debe tener cuidado al ignorar vértices irrelevantes porque pueden ser "peligrosamente irrelevantes". Buscar en Google obtendría más información sobre estos objetos. creo que por $\phi^4$ teoría en $(3+1)$ -dimensiones, $\phi^{2n}$ vértices (con $n\geq 3$ ) no son peligrosamente irrelevantes y, por lo tanto, pueden ignorarse con seguridad.
"... pero para demostrar que esta expectativa es correcta, ¿no tenemos que hacer el procedimiento completo de renormalización?" Este es un buen punto a tener en cuenta al hacer RG. Dentro de un esquema RG perturbativo, me refiero a que el parámetro de expansión permanece pequeño hasta el punto fijo y en el punto fijo, la dimensión de escala de ingeniería es suficiente para probar la irrelevancia del $\phi^6$ vértice: la función beta a nivel de árbol del $\phi^6$ el acoplamiento solo recibiría una pequeña corrección $\propto \lambda^2 \ll 1$ . Por lo tanto, domina la escala de nivel de árbol.
Sin embargo, en teorías no perturbativas donde no hay un parámetro pequeño, esta función beta a nivel de árbol puede, en principio, recibir una $\mathcal{O}(1)$ corrección de las fluctuaciones cuánticas. Aquí no podemos confiar en la dimensión de escala de ingeniería de los vértices.
"¿Tengo razón al decir que podemos ignorar el diagrama que me preocupa, no porque desaparezca, sino porque su contribución es irrelevante?" - Sí. "¿Cómo se relaciona esto con la 'conservación del impulso'?" - Creo que tiene que ver con la incapacidad de producir vértices impares a través de la contracción.
"Dentro de un esquema RG perturbativo, me refiero a que el parámetro de expansión permanece pequeño hasta el punto fijo y en el punto fijo, la dimensión de escala de ingeniería es suficiente para probar la irrelevancia del $\phi ^6$ vértice". ---- ¿Cómo hago para probar esta declaración? Con una prueba de esto, creo que mi pregunta será respondida por completo. (Además, ¿tengo razón al suponer que esto no es específico de $\phi ^6$ , pero también es cierto para general $\phi ^{2n}$ con $n\geq 3$ ?)

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