Comprender las condiciones de renormalización en la teoría ϕ4−ϕ4−\phi^4

La lógica es que queremos el propagador exacto

$$\Delta(p^2) = \frac{1}{p^2 - m^2 - M(p^2)}$$

comportarse como el propagador libre$1/(p^2 - m^2)$cerca del polo$p^2 = m^2$. Esto se debe a que la ubicación del polo determina la masa física y el residuo entra en la fórmula LSZ, consulte la fórmula 10.14.

Entonces:

1. Queremos$\Delta(p^2)$tener un poste en$m^2$, de esa manera$m$es la masa física real de nuestra partícula. Bien,$\Delta(m^2) = 1/M(m^2)$, así que necesitamos$M(m^2) = 0$.

2. Queremos que el residuo sea 1. Esto significa que cerca de$p^2 = m^2$, Nosotros deberíamos tener$\Delta(p^2) = 1/(p^2 - m^2) + \text{non-singular terms}$; el residuo es el$1$encima de la fracción. Podemos calcularlo mediante la expansión de Taylor$M$alrededor$m^2$y usando nuestro resultado anterior o usando eso, el residuo es$\lim_{p^2 \to m^2} (p^2 - m^2)\Delta(p^2)$; de cualquier manera, debemos tener$M'(m^2) = 0$.

En cuanto a su segunda pregunta, creo que Peskin simplemente usa una notación diferente, es decir, todo lo que acabamos de decir. Si no me equivoco es otra forma de decir lo mismo.

La primera pregunta ha sido respondida por Javier. Para la segunda pregunta, puede consultar la sección 11.5 de Peskin y Schroeder . supongo que el$\Gamma$en su pregunta es una acción efectiva y$\Gamma^{(n)}$es una abreviatura de

$$\frac{\delta^n \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}(x_1) \cdots \delta \phi_{\rm cl}(x_n)}.$$ La ecuación 11.90 de Peskin y Schroeder dice, $$\Gamma^{(2)}(x,y) = iD^{-1}(x,y)$$ dónde $D(x,y)$es el propagador exacto de la $\phi^4$teoría. En el espacio de cantidad de movimiento, tenemos $$\Gamma^{(2)}(p^2) = p^2-m^2-M^2(p^2)$$ Entonces, $M^2(p^2=m^2) = 0$es lo mismo que $\Gamma^{(2)}(p^2=m^2) = 0$, no $\Gamma^{(2)}(0) = m^2$. La ecuación 11.96 de Peskin y Schroeder dice, $$\Gamma^{(4)}(x_1,x_2,x_3,x_4) = -i \langle \phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\rangle_{\rm 1PI}$$ En el espacio de momento, $\langle \phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\rangle_{\rm 1PI}$es solo un diagrama de Feynman amputado con cuatro patas externas. Entonces, la condición de renormalización que amputó el diagrama de Feynman con cuatro patas externas es igual a $-i\lambda$cuando $s=4m^2,t=u=0$es lo mismo que la condición de que $\Gamma^{(4)}(p_1^2,p_2^2,p_3^2,p_4^2 = m^2) = -\lambda$. En cuanto a la condición $$\left. \frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 0.$$ es lo mismo que $$\left. \frac{d \Gamma^{(2)}(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 1.$$

Para tu tercera pregunta, supongo que no entiendes totalmente la respuesta de Javier. Si no está familiarizado con el análisis complejo y el teorema de los residuos, puedo darle una explicación simple pero aproximada.

$$\frac{i}{p^2-m^2-M^2(p^2)} = \frac{i}{p^2-m^2+M^2(m^2) + \left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2}(p^2-m^2)+\cdots}\\ = \frac{i}{\left( 1 + \left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2}\right)(p^2-m^2)+\cdots}\\ = \frac{i}{p^2-m^2} + \mbox{ regular terms}$$ Por comparación, podemos obtener $$\left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 0$$