Forma simpléctica en espacio de fase covariante

Esta es exactamente la esencia del enfoque del "espacio de fase covariante", desarrollado por Ashtekar, Wald, Witten, etc. Véase, por ejemplo, Lee & Wald (1990) . Se puede aplicar a las teorías de partículas o campos y, en particular, a las teorías de calibre. La construcción es brevemente como sigue:

1- Considere el espacio de solución $\cal S$definido como la colección de soluciones a su teoría dada con Lagrangian$\cal L[\phi]$y limitado posiblemente por algunas condiciones de contorno.

2- La variación de$\cal L$da las ecuaciones de movimiento y un término derivado total

$$\delta \cal L=E[\phi]\delta \phi+\partial_\mu \theta^\mu(\delta \phi)$$

3- Un vector tangente en un punto$\phi\in \cal S$está representado por una perturbación de campo$\delta \phi$que resuelve las ecuaciones de campo linealizadas. También se puede definir una forma diferencial$d_V\phi$como la derivada exterior de$\cal S$.

4- Construir la estructura canónica sobre$\cal S$, tome una superficie de Cauchy arbitraria$\Sigma$en el espacio-tiempo y definir la forma (pre)simpléctica de la siguiente manera

$$\Omega(\delta_1 \phi,\delta_2 \phi)=\int_\Sigma d\Sigma \,n_\mu \delta_1 \theta^\mu(\delta_2 \phi)- (1\leftrightarrow 2)$$ dónde$n$es la normal a la hipersuperficie y$d\Sigma$denota la forma de volumen. Equivalentemente se puede escribir $$\Omega=\int_\Sigma d_V \theta$$ que es una forma 2 con respecto a la derivada exterior$d_V$en$\cal S$. Las 2 formas anteriores tienen degeneraciones en el caso de las teorías de calibre. En ese caso se debe cociente$\cal S$por el grupo$\cal G_0$de transformaciones de calibre puras, es decir, todas las transformaciones de calibre que actúan localmente en masa. Grandes transformaciones de calibre (aquellas que actúan de manera no trivial en el límite sobreviven y comprenden las simetrías del espacio de fase).

5- El formalismo es covariante ya que no se requiere descomposición explícita en campos y la elección de$\Sigma$es arbitrario la independencia de$\Omega$de$\Sigma$es resultado del hecho de que$\partial_\mu \omega^\mu=0$utilizando las ecuaciones de movimiento. El par$(\cal S, \Omega)$se llama espacio de fase covariante .

6- El análisis de las simetrías (asintóticas) y las leyes de conservación son muy sencillos en este formalismo. Para construir el generador de una transformación de simetría$\delta_\xi \phi$, simplemente toma

$$\delta H_\xi\equiv \Omega (\delta \phi,\delta_\xi\phi).$$ La carga$H_\xi$existe si$\delta H_\xi$es integrable, lo que equivale a la condición$\cal{L}_{\delta_\xi}\Omega=0$, es decir, que$\delta_\xi\phi$es una simetría simpléctica (transformación canónica). El paréntesis de veneno entre dos cargas es $$\{H_\xi,H_\zeta\}=\Omega (\delta_\zeta\phi,\delta\xi\phi)$$

El corchete de Poisson covariante buscado para las teorías lagrangianas se conoce como corchete de Peierls.

$$\{ F,G \}~:=~\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})} - (F\leftrightarrow G),$$ dónde $G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})$es la función de Green retrasada , consulte, por ejemplo, varios libros de texto de Bryce S. DeWitt, y this & this Phys.SE responde por el usuario Urs Schreiber.

Ok, investigué un poco y esto es lo que encontré (basado en la respuesta de Qmechanic, pero un poco más general).

Defina el espacio de fase fuera de la carcasa para que sea simplemente el espacio de todas las configuraciones de campo, que no necesariamente satisface las ecuaciones de movimiento. Los observables clásicos fuera del caparazón son, por analogía, funciones sobre el espacio de fase fuera del caparazón. Definimos el corchete de Peierls entre dos de tales funcionales como

$$\left\{ F[x], G[x] \right\} = \int dt' \int dt \, \frac{\delta F}{\delta x(t')} G_F(t', t) \frac{\delta G}{\delta x(t)},$$

dónde$G_F(t', t)$es el propagador de Feynman (retrasado menos avanzado). El punto crucial que no entendí antes es que$G_F$es en realidad un funcional, que depende de$x(t)$. Y no describe la propagación de todo el campo.$x$, solo una propagación lineal de su fluctuación infinitesimal. Por lo tanto, la dependencia altamente no trivial de$x$está codificado en el corchete de Peierls.

Aunque todavía no entiendo una cosa. La estructura resultante del espacio de fase fuera de la carcasa con el soporte de Peierls no es equivalente al espacio de fase habitual (y, de hecho, es infinitamente más grande). ¿Cómo retiro esta álgebra en el espacio de fase?