Cargas/constantes de movimiento conservadas dentro y fuera del caparazón

1. Definición: una constante de movimiento en el caparazón $F(q,p,t)$satisface$^1$

   $$\frac{dF}{dt}~\approx~0~\text{for all initial conditions and configurations}.\tag{1}$$ [Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo ecuaciones de movimiento de Hamilton (HEOM). On-shell (en este contexto) significa que los HEOM están satisfechos.] Observe para más adelante que el lhs. de la ec. (1) en principio es una función de$q$,$p$,$\dot{q}$,$\dot{p}$y$t$.

2. Definición: una constante de movimiento fuera de la cáscara $F(q,p,t)$satisface

   $$\{F,H\}_{PB}+\frac{\partial F}{\partial t} ~\equiv~ 0 \tag{2}$$ fuera de la cáscara.

3. Proposición: Las dos definiciones son equivalentes: Def. 1$\Leftrightarrow$Def. 2.

$\Leftarrow$prueba de Proposición: Use HEOM.$\Box$

$\Rightarrow$prueba de proposición: tenga en cuenta que el lhs. de la ec. (2) no depende de$\dot{q}$y$\dot{p}$. Entonces, si es cero con la ayuda de HEOM, también es cero sin él.$\Box$

referencias 1 y 2 no enfatizan explícitamente que la ec. (1) debe cumplirse para todas las condiciones iniciales, no solo en circunstancias especiales, pero esto es esencial si se quiere tener equivalencia con la ec. (2).

4. Finalmente, como una aplicación importante, mencionemos que la condición fuera de la cáscara (2) es la condición que realmente se usa en la demostración del teorema de Poisson (junto con la identidad de Jacobi ):

Teorema de Poisson: Si$F$y$G$son constantes de movimiento fuera de la cáscara, entonces el corchete de Poisson$\{F,G\}_{PB}$es una constante de movimiento fuera de la capa.

5. Para ver un ejemplo de lo que puede salir mal si la ec. (1) no se cumple para todas las condiciones iniciales, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; ecuación (9.97).

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976; ecuación (42.3). [Tenga en cuenta que la ref. 2 llama confusamente una constante de movimiento a una integral de movimiento. Según Wikipedia , una integral de movimiento es una constante de movimiento sin dependencia explícita del tiempo.]

3. PJ Olver, Aplicaciones de los grupos de mentiras a las ecuaciones diferenciales, 1993; pag. 264.

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$^1$Tenga en cuenta que la ref. 1 llama a una condición fuera de la cáscara de la forma

$$\frac{dF}{dt}~\equiv ~0\tag{3}$$ una ley de conservación trivial de 2º tipo. Asumiendo que$F(q,p,t)$no depende de las derivadas temporales, la condición (3) solo puede ocurrir si y sólo si$F$es una constante independiente de$q$,$p$y$t$.