¿Sistema unidimensional un sistema hamiltoniano?

Otro enfoque diferente al de Qmechanic. Observe que su ecuación diferencial implica que

$$\frac{1}{2}\dot{x}^2 -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2 =E\:,$$ con $E=0$. Esta es una ecuación de conservación para el sistema de segundo orden $$\ddot{x} = -\frac{d}{dx} U(x)$$ dónde $$U(x) = -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Este es un sistema hamiltoniano 2D cuyo hamiltoniano es $$H(x,p)= \frac{p^2}{2} -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Las soluciones de la EDO inicial son exactamente las que resuelven las ecuaciones de Hamilton de este nuevo sistema (una es $p= \dot{x}$) tal que el $$p(0):= \beta x(0) (1-x(0))\:.$$ Este requisito también corrige los signos (supongo $\beta>0$) por continuidad de las soluciones. En realidad, es necesario un análisis un poco más preciso si $x(0)=0$o $x(0)=1$.

Apéndice . En realidad, hay una posibilidad más aún más fácil. Simplemente defina

$$H(x,p) := p\beta x(1-x)\:.$$ La ecuación hamiltoniana para $x$es solo su ecuación inicial, que admite una solución única cuando fija una condición inicial $x(0)$y no depende de la variable $p$y en la ecuación restante.