¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Question

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Física
espacio de fase
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

Amarnath

Los soportes de Poisson para $u,v$ Se puede escribir como,

\frac{\partial tu}{\partial q} \frac{\partial v}{\partial pag} - \frac{\partial tu}{\partial pag} \frac{\partial v}{\partial q} .

$\frac{\partial u}{\partial q} \frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial v}{\partial q}.$

Podemos escribir esto como determinante de esta matriz

[\begin{matrix} \frac{\partial tu}{\partial q} & \frac{\partial tu}{\partial pag} \\ \frac{\partial v}{\partial q} & \frac{\partial v}{\partial pag} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial q} & \frac{\partial u}{\partial p} \\\frac{\partial v}{\partial q} & \frac{\partial v}{\partial p} \end{bmatrix}$

que es la matriz jacobiana.

¿Hay alguna relación entre ellos?

Respuestas (1)

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

qmecanico · Answer 1

Para un espacio de fase bidimensional, son iguales.
De manera más general, para un $2n$ variedad simpléctica -dimensional $(M;\omega)$ con dos formas simplécticas
$\begin{matrix} (1) & ω = \frac{1}{2} d z^{I} ω_{I j} \land d z^{j}, ω_{I j} = - ω_{j I}, \end{matrix}$ $\tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} dz^I ~\omega_{IJ} \wedge dz^J, \qquad \omega_{IJ}~=~-\omega_{JI},$ el corchete de Poisson viene dado por $\begin{matrix} (2) & {F, gramo}_{PAG B} = \frac{\partial F}{\partial z^{I}} π^{I j} \frac{\partial gramo}{\partial z^{j}}, π^{I j} := (ω^{- 1})^{I j} . \end{matrix}$ $\tag{2} \{f,g\}_{PB}~=~\frac{\partial f}{\partial z^I}\pi^{IJ} \frac{\partial g}{\partial z^J}, \qquad \pi^{IJ} ~:=~(\omega^{-1})^{IJ} .$ Ver también, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.
La forma de volumen canónico en $(M;\omega)$
$\begin{matrix} (3) & Ω = ω^{norte} = ρ d z^{1} \land \dots \land d z^{2 norte}, \end{matrix}$ $\tag{3} \Omega~=~\omega^n~=~\rho~ dz^1\wedge \ldots \wedge dz^{2n},$ es el $n$ 'th poder exterior de la simpléctica de dos formas $\omega$ , con densidad de volumen $\begin{matrix} (4) & ρ = PAG F (ω_{I j}) \end{matrix}$ $\tag{4} \rho~=~{\rm Pf}(\omega_{IJ})$ dada por el Pfaffian , que es una raíz cuadrada del determinante. Esto está estrechamente relacionado con el teorema de Liouville .

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Amarnath

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