¿Qué transformaciones son canónicas?

Tenga en cuenta que existen varias definiciones de una transformación canónica (CT) en la literatura:

1. En primer lugar, Refs. 1 y 2 definen un CT como una transformación$^1$

   $$(q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$$ [junto con una elección de un hamiltoniano$H(q,p,t)$y un kamiltoniano$K(Q,P,t)$; y donde$t$es el parámetro de tiempo] que satisface $$(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t) -(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F\tag{2}$$ para alguna función generadora$F$.

2. En segundo lugar, Wikipedia (octubre de 2015) llama a una transformación (1) [junto con una elección de$H(q,p,t)$y$K(Q,P,t)$] un CT si transforma las ecuaciones de Hamilton. en las ecuaciones de Kamilton. Esto se llama una transformación canonoide en la Ref. 3.

3. En tercer lugar, ref. 3 llama a una transformación (1) CT si$\forall H(q,p,t) \exists K(Q,P,t)$tal que la transformación (1) transforma las ecuaciones de Hamilton. en las ecuaciones de Kamilton.

4. En cuarto lugar, algunos autores (por ejemplo, Ref. 4) utilizan la palabra CT como otra palabra para un simplectomorfismo $f:M\to M$[que puede depender de un parámetro$t$] en una variedad simpléctica$(M,\omega)$, es decir

   $$f^{\ast}\omega=\omega.\tag{3}$$ Aquí$\omega$es la forma simpléctica de dos formas, que en las coordenadas locales de Darboux/canónicas se lee$\omega= \sum_{i=1}^n\mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^i$. Un simplectomorfismo conserva el corchete de Poisson .

5. En quinto lugar, Ref. 1 define una transformación canónica extendida (ECT) como una transformación (1) [junto con una elección de$H(q,p,t)$y$K(Q,P,t)$] que satisface

   $$\lambda(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t) -(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F \tag{4}$$ para algún parámetro$\lambda\neq 0$y para alguna función generadora$F$.

Ahora analicemos algunas de las relaciones entre las cinco definiciones anteriores.

1. La primera definición es un ECT con$\lambda=1$. Un ECT satisface la segunda definición, pero no necesariamente al revés, cf. por ejemplo , esto y esta publicación de Phys.SE.

2. La primera definición es un simplectomorfismo (al olvidarse de$H$y$K$). Por el contrario, puede haber obstrucciones globales para que un simplectomorfismo satisfaga la primera definición. Sin embargo, un simplectomorfismo lo suficientemente cercano al mapa de identidad y definido dentro de un solo gráfico de coordenadas de Darboux satisface las partes de la primera definición que no conciernen.$H$y$K$. Ver también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

3. Un ECT no es necesariamente un simplectomorfismo. Contraejemplo:

   $$Q~=~\lambda q, \qquad P=p \qquad K~=~\lambda H, \qquad F~=~0,\tag{5}$$ dónde$\lambda\notin \{0,1\}$es una constante diferente de cero y uno, por lo que no se conserva el corchete de Poisson $$\{Q,P\}_{PB}~=~\lambda \{q,p\}_{PB}~\neq~\{q,p\}_{PB}~=~1. \tag{6}$$

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; Capítulo 9. Véase el texto bajo eq. (9.11).

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica; $\S45$. Véase el texto entre las ecuaciones. (45.5-6).

3. JV Jose & EJ Saletan, Dinámica Clásica: Un Enfoque Contemporáneo, 1998; Subsección 5.3.1, pág. 233.

4. VI Arnold, Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, 2ª ed., 1989; Ver$\S$44E y nota al pie 76 en la p. 241.

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$^1$Aunque la ref. 1 y ref. 2 no se moleste en mencionar esto explícitamente, se supone implícitamente que el mapa (1) es una biyección suficientemente suave , por ejemplo, un difeomorfismo [que depende suavemente del parámetro de tiempo$t$]. Se asumen implícitamente condiciones de suavidad similares sobre$H$,$K$, y$F$.