Analogía del operador tensorial en la física clásica

En mecánica cuántica, los operadores tensoriales se definen a través de su conmutación con los operadores de componentes de momento angular esférico,

$$\begin{aligned} \ [L_3,T(k,q)] &= \hbar q\ T(k,q), \\ [L_\pm,T(k,q)] &= \hbar \alpha^\pm(k,q)\ T(k,q\pm1). \end{aligned}$$ Esto se puede reescribir de manera equivalente en coordenadas cartesianas, por ejemplo, un operador vectorial $(V_i)_{i=1}^3$necesita satisfacer $$[L_j, V_k] = i\hbar\ \epsilon_{jkl} V_l.$$ Esto es mejor porque solo usa observables autoadjuntos. Lo que me pregunto es a qué corresponde esto en la mecánica poissoniana clásica , donde una condición análoga sería $$\{L_j,V_k\} = \epsilon_{jkl} V_l \label{1}\tag{1}$$ para funciones trifásicas en el espacio $(V_1, V_2, V_3)$. Por supuesto, todos sabemos que los componentes de posición, momento o momento angular satisfacen esto, pero quiero ver una solución general.

Lo que he intentado es reescribir ($\ref{1}$) como

$$\{\epsilon_{jmn}x_mp_n, V_k\} = \epsilon_{jmn}\frac{\partial V_k}{\partial p_m}p_n - \epsilon_{jmn}x_m\frac{\partial V_k}{\partial x_n} = \epsilon_{jkl} V_l,\quad \forall j,$$ multiplica ambos lados por el $j$-ésima componente de un vector normal genérico $\vec n$y un desplazamiento genérico $\chi$e interprete el lado izquierdo como el término de primer orden en una expansión de Taylor, $$V_k(x_n - \chi \epsilon_{jmn}n_j x_m, p_m + \chi \epsilon_{jmn}n_j p_n) = V_k(x_n, p_m) + \chi n_j \epsilon_{jkl} V_l(x_n, p_m) + O(\chi^2),$$ dónde $V_k(x_n,p_m)$es un atajo para $V_k(x_1,x_2,x_3,p_1,p_2,p_3)$, o $V_k(\vec x, \vec p)$. Esto se puede exponenciar para obtener $$V_k\big(\exp(-\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} x_m,\,\exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} p_n\big) = \exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{kl} V_l(x_n,p_m).$$ Las exponenciales ahora denotan matrices rotacionales sobre $\vec n$por el ángulo $\pm\chi$, $$\exp(\pm \chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} = R(\vec n,\pm \chi)_{mn},$$ por lo que obtenemos que $\vec V = (V_1, V_2, V_3)$debe satisfacer $$\vec V(R(\vec n,-\chi)^T \vec x, R(\vec n,\chi)\vec p) = R(\vec n,\chi) \vec V(\vec x, \vec p).$$ También usamos la ortogonalidad de $R$, $$R(\vec n,-\chi)^T = R(\vec n,-\chi)^{-1} = R(\vec n,\chi) =: R,$$ entonces $$\vec V(R \vec x, R \vec p) = R \vec V(\vec x, \vec p).$$

denotar$\vec{\tilde{x}} = R \vec{x}$y$\vec{\tilde{p}} = R \vec{p}$, obtenemos

$$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = R \vec V(R^{-1} \vec{\tilde{x}}, R^{-1} \vec{\tilde{p}}).$$ Ahora los argumentos en el lado derecho son $\vec x$, $\vec p$calculado a partir de $\vec{\tilde{x}}$, $\vec{\tilde{p}}$, alimentado en el no transformado $\vec V$, y covariante (NB: no hay diferencia entre covariante y contravariante en $SO(3)$) transformado a la base de la tilde. Esta es exactamente la regla de transformación completa de un campo vectorial, por lo que la RHS es igual a $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}})$, o $$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = \vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}). \label{2}\tag{2}$$ Esto significaría que las funciones $(V_k)_{k=1}^3$satisfacer ( $\ref{1}$) si, y solo si, tratarlos como un campo vectorial y transformarlos en una base rotada sería lo mismo que solo reemplazar las coordenadas transformadas en las funciones originales (no transformadas) , o que su forma funcional es invariable bajo la rotación del campo vectorial. Esta parece ser una condición bastante fuerte que no cumplirían muchas de las cosas que solía llamar campos vectoriales. Por ejemplo, tome un campo vectorial constante, digamos, $\vec V(\vec r, \vec p) = (0, 0, -g)^T$. En forma rotativa, las reglas de transformación dictan $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{r}}, \vec{\tilde{p}}) = R\cdot(0,0,-g)^T$, que en general son tres constantes diferentes a $0$, $0$y $-g$. Entonces ( $\ref{2}$) está roto, lo que es consistente con el hecho de que un corchete de Poisson de la forma ( $\ref{1}$) con una constante $V_k$es cero, en lugar de $\epsilon_{jkl}V_l$.

Un ejemplo de$(V_k)_{k=1}$que se ajusta a ($\ref{1}$) son las proyecciones canónicas

$$\begin{aligned} V_1(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= x, \\ V_2(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= y, \\ V_3(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= z \\ \end{aligned}$$ (como es bien sabido), y de hecho transformando el radio vector $\vec r = (V_1, V_2, V_3) = (x,y,z)$da $\vec{\tilde{r}} = (\tilde x, \tilde y, \tilde z)$, cuyos componentes son los tres primeros elementos de la tupla $(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z)$, entonces $$\begin{aligned} \tilde V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde x = V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde y = V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde z = V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) \\ \end{aligned}$$

Entonces, el "observable vectorial clásico" es algo más estricto que un "campo vectorial" sobre el espacio de fase, lo que requiere que las funciones que definen sus componentes permanezcan intactas bajo rotaciones (o$GL$transforma, como podría mostrarse análogamente). ¿Cómo se llaman estos campos vectoriales especiales? ¿O me estoy perdiendo algo en mi derivación?