Confusión sobre las propiedades de los brackets de Poisson

Question

Confusión sobre las propiedades de los brackets de Poisson

Física
espacio de fase
corchetes de poisson
sistemas coordinados
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

Carrera SK

Recién comencé a aprender sobre los soportes de Poisson y encontré la siguiente propiedad

{q_{i}, q_{j}} = 0

$\{q_i,q_j\}=0$

Y

{{pag}_{i}, {pag}_{j}} = 0.

$\{p_i,p_j\}=0.$

Dónde $p$ y $q$ son respectivamente las coordenadas de impulso y posición, es decir, coordenadas de espacio de fase.

Ahora los corchetes de Poisson se definen como

{F, GRAMO} = \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial GRAMO}{\partial {pag}_{i}} - \frac{\partial GRAMO}{\partial q_{i}} \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}}

$\{F,G\}=\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial G}{\partial q_i}\frac{\partial F}{\partial p_i}$

i

$i$ y

j

$j$ aquí de pie para el

i

$i$ 'th y

j

$j$ 'th coordenadas espaciales.

{q_{i}, q_{j}} = 0

$\{q_i,q_j\}=0$

\Rightarrow {q_{i}, q_{j}} = \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{j}}{\partial {pag}_{i}} - \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{i}} = 0

$\Rightarrow \{q_i,q_j\}=\frac{\partial q_i}{\partial q_i}\frac{\partial q_j}{\partial p_i}-\frac{\partial q_j}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial p_i} =0$ Pero me cuesta demostrarlo. Sé que el segundo término

(\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}})

$(\frac{\partial q_j}{\partial q_i})$ es cero porque las coordenadas espaciales i'th y j'th son ortogonales y, por lo tanto, no hay cambio en

q_{i}

$q_i$ al cambiar

q_{j}

$q_j$ . Sin embargo, no sé cómo demostrar que el primer término es cero, y ahí es donde necesito ayuda.

Para resumir, mi pregunta es probar que

\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{j}}{\partial {pag}_{i}} = 0

$\frac{\partial q_i}{\partial q_i}\frac{\partial q_j}{\partial p_i}=0$ Cualquier ayuda será muy apreciada.

Respuestas (2)

Confusión sobre las propiedades de los brackets de Poisson

usuario245141 · Answer 1

Como $p$ y $q$ no dependen funcionalmente unos de otros

\frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{j}} = 0

$\frac{\partial q_i}{\partial p_j} = 0$ y también

\frac{\partial {pag}_{i}}{\partial q_{j}} = 0

$\frac{\partial p_i}{\partial q_j} = 0$ para todos

i, j

$i,j$

usuario248824 · Answer 2

Creo que hay un malentendido de tu parte.

\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}} = d_{i j},

$\frac{\partial q_j}{\partial q_i} = \delta_{ij},$ dónde

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ es el llamado delta de Kronecker .

Espero que esto ayude hasta ahora.

Entiendo que $\frac{\partial q_i}{\partial q_j}=\delta_{ij}$ y tambien eso $\delta_{ij}=0$ para $i\neq j$ pero mi pregunta no involucra el $\frac{\partial q_i}{\partial q_j}$ término, quiero que la prueba para el otro término en el corchete de Poisson sea cero, más específicamente, necesito la prueba para la siguiente declaración $\frac{\partial q_j}{\partial p_i}=0$

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