Cálculo de la matriz espacial simpléctica estándar

Estoy aprendiendo que existe una conexión importante entre los formalismos hamiltonianos y la geometría simpléctica. Parece que la Mecánica de Newton se describe en lo que se llama el espacio simpléctico estándar , que viene dado por:

Ω = ( 0 I norte − I norte 0 )

Esto es un 2 norte × 2 norte matriz, donde I norte son matrices identidad de norte × norte . Entonces la dimensión de este espacio es proporcional al número de grados de libertad del sistema (en el espacio fase hay 2 norte dof).

Mi pregunta es: ¿ cómo construyen esta matriz? ¿Pueden existir nuevos sistemas mecánicos (relativistas, cuánticos) para que esta matriz se modifique? En tal caso, ¿cómo se construyen?

Agradecería buenas fuentes para estudiar este tipo de cosas, porque solo encontré páginas de wikipedia, y también el libro Mathematical Methods of Classical Mechanics de VI Arnold, pero lo encuentro demasiado formal y difícil de seguir.

Respuestas (1)

  1. El escenario geométrico de una teoría hamiltoniana a menudo se toma como un 2 norte variedad simpléctica real -dimensional ( METRO , ω ) , dónde ω es una forma 2 real cerrada no degenerada.

  2. En un barrio coordinado tu , la forma 2 ω se da como

    (1) ω | tu   =   1 2 ∑ I , j = 1 2 norte ω I j ( z )   d z I ∧ d z j ,
    dónde ω I j = − ω j I es una matriz real antisimétrica no degenerada.

  3. La matriz inversa

    (2) ( ω − 1 ) I j   =   { z I , z j } PAG B
    da lugar a un corchete de Poisson .

  4. El teorema de Darboux establece que localmente (en un vecindario abierto suficientemente pequeño tu ) existen coordenadas de Darboux/canónicas

    (3) z I   =   ( q 1 , … , q norte , pag 1 , … , pag norte ) ,
    dónde ω I j está en el formulario
    (4) ω   =   [ 0 norte × norte − 1 norte × norte 1 norte × norte 0 norte × norte ] ,
    o equivalente,
    (5) ω | tu   =   ∑ i = 1 norte d pag i ∧ d q i .

  5. Puede ser útil señalar que no se puede diagonalizar una matriz real antisimétrica no degenerada en un espacio vectorial real (porque los valores propios son imaginarios), por lo que la forma canónica (4) es, en cierto sentido, la mejor que se podría esperar, hasta convenciones de signos y permutaciones de coordenadas.

gracias por tu respuesta asi que ω y su inversa solo depende de las coordenadas? ¿Por eso la base estándar tiene esa forma, porque siempre se consideran las coordenadas de Darboux?
↑ Sí Sí.
Cálculo de la matriz espacial simpléctica estándar
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v