Función generadora para transformación canónica

Question

Función generadora para transformación canónica

Física
espacio de fase
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

Merk Zockerborg

Version corta:

He estado leyendo algunas notas sobre sistemas integrables/dinámica hamiltoniana, y estoy atascado en un problema: demuestre que la transformación de coordenadas derivada a través del método de la función generadora le da una transformación canónica.

Versión larga:

Un cambio de coordenadas $(\vec{q},\vec{p})\to (\vec{Q},\vec{P})$ se llama canónico si deja invariantes las ecuaciones de Hamilton, es decir, las ecuaciones en las coordenadas originales
$\dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial \vec{pag}}, \dot{\vec{pag}} = - \frac{\partial H}{\partial \vec{q}}$ $\dot{\vec{q}}=\frac{\partial H}{\partial\vec{p}},\quad \dot{\vec{p}}=-\frac{\partial H}{\partial\vec{q}}$ son equivalentes a $\dot{\vec{q}} = \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \vec{PAG}}, \dot{\vec{PAG}} = - \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \vec{q}}$ $\dot{\vec{Q}}=\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{P}}, \quad \dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ dónde $\tilde{H}(\vec{Q},\vec{P})=H(\vec{q},\vec{p})$ .

El método de la función generadora:

Supongamos que tenemos una función $S:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}.$ Escribe sus argumentos $S(\vec{q},\vec{P})$ . Ahora configura
$\vec{pag} = \frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, \vec{q} = \frac{\partial S}{\partial \vec{PAG}} .$ $\vec{p}=\frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, \quad \vec{Q}=\frac{\partial S}{\partial \vec{P}}.$ La primera ecuación nos permite resolver para $\vec{P}$ en términos de $\vec{q},\vec{p}$ . La segunda ecuación nos permite resolver para $\vec{Q}$ en términos de $\vec{q},\vec{P}$ , y por lo tanto en términos de $\vec{q},\vec{p}$ . Las nuevas coordenadas $\vec{Q}$ , $\vec{P}$ encontramos que esta forma dará una transformación canónica. Verificar esto es solo una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena.

Mi problema:

Así que decidí tratar de resolver esta 'aplicación cuidadosa de la regla de la cadena', es decir, probar que la transformación obtenida a través de este método de función generadora es canónica. No he podido hacerlo, y la ayuda con este problema sería muy apreciada.

****mi progreso****

por ejemplo, tratar de probar $\dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ . Pensando en $H$ como $H(\vec{q}(\vec{Q},\vec{P}),\vec{p}(\vec{Q},\vec{P}))$ , y usando la regla de la cadena,

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial q_{i}} = \frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}} + \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}} \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial q_{i}} = - {\dot{pag}}_{j} \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}} + {\dot{q}}_{j} \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial q_{i}}

$\frac{\partial\tilde{H}}{\partial Q_i}=\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}=-\dot{p}_j\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\dot{q}_j\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}$ utilizando las ecuaciones originales de Hamilton.

Mientras tanto,

- {\dot{PAG}}_{i} = - \frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j} - \frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial {pag}_{j}} {\dot{pag}}_{j},

$-\dot{P}_i=-\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot{q}_j-\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot{p}_j,$ por lo que será suficiente para mostrar

\frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial {pag}_{j}} = \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial q_{j}} = - \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial q_{i}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial Q_i},\quad \frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$ he podido mostrar

\frac{\partial {pag}_{j}}{\partial {PAG}_{i}} = \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}

$\frac{\partial p_j}{\partial P_i}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}$ utilizando la regla de la cadena y la simetría de derivadas parciales. Esto nos da la primera igualdad deseada, al invertir la matriz jacobiana:

{[\frac{\partial {pag}_{j}}{\partial {PAG}_{i}}]}^{- 1} = {[\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}]}^{- 1} ⟹ [\frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial {pag}_{j}}] = [\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}}]

$\left[\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right]^{-1} =\left[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right]^{-1} \implies \left[\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right] =\left[\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right]$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar

\frac{\partial {PAG}_{i}}{\partial q_{j}} = - \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial q_{i}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$

Respuestas (2)

Función generadora para transformación canónica

qmecanico · Answer 1

Recuerde que una transformación de coordenadas
$\begin{matrix} (1) & (q^{i}, {pag}_{i}) \mapsto (q^{i} (q, pag, t), {PAG}_{i} (q, pag, t)) \end{matrix}$ $(q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$ con función generadora $F$ es de la forma $^1$ $\begin{matrix} (2) & λ \underset{=: L_{H}}{\underset{⏟}{(\sum_{i = 1}^{norte} {pag}_{i} d q^{i} - H d t)}} = \underset{=: L_{k}}{\underset{⏟}{(\sum_{i = 1}^{norte} {PAG}_{i} d q^{i} - k d t)}} + d F, \end{matrix}$ $\lambda\underbrace{(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_H} ~=~\underbrace{(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_K} ~+~\mathrm{d}F,\tag{2}$ dónde $\lambda\neq 0$ es una constante distinta de cero.
Desde las 2 formas Lagrangianas 1 $\mathbb{L}_H$ y $\mathbb{L}_K$ son iguales fuera de la cáscara hasta una derivada total y una constante multiplicativa general $\lambda$ , producen las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) , que claramente son ecuaciones de Hamilton en ambos casos. Por lo tanto, la transformación de coordenadas (2) deja las ecuaciones de Hamilton invariantes de forma.
ecuaciones (2) representan una noción de una transformación canónica (CT), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

--

$^1$ generador de OP $F=S(q,P,t)-\sum_{i=1}^nP_iQ^i$ es de tipo 2 y en el caso de OP $\lambda=1$ .

tobi7 · Answer 2

Lo que ha encontrado es básicamente otra forma de describir las transformaciones canónicas. Empecemos por calcular

{\dot{q}}_{i} = \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{j}} \dot{{pag}_{j}} = \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{j}} \frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}} .

$\dot{Q}_i = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \dot{p_j} = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial p_j}.$ Esto tiene que ser igual a

\frac{\partial H}{\partial {PAG}_{i}} = \frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial {PAG}_{i}} + \frac{\partial H}{\partial {PAG}_{j}} \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial {PAG}_{i}} .

$\frac{\partial H}{\partial P_i} = \frac{\partial H}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial p_j}{\partial P_i}.$ Comparando estas dos ecuaciones se obtiene

\frac{\partial H}{\partial {pag}_{j}} (\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}} - \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial {PAG}_{i}}) = \frac{\partial H}{\partial q_{j}} (\frac{\partial q_{j}}{\partial {PAG}_{i}} + \frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{j}}) .

$\frac{\partial H}{\partial p_j} \left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} - \frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right).$ ya que tampoco

\partial H / \partial p_{j}

$\partial H / \partial p_j$ ni

\partial H / \partial q_{j}

$\partial H / \partial q_j$ son idénticos 0, las expresiones entre paréntesis deben ser iguales a 0. En su caso, deberá demostrar que la función generadora

S

$S$ produce una transformación que cumple estas ecuaciones (un argumento similar para

{\dot{P}}_{i}

$\dot{P}_i$ produce la identidad en su pregunta).

Desde un punto más teórico de pocos, una transformación es canónica si se conservan los paréntesis de poisson:

{q_{i}, q_{j}} = 0, {{PAG}_{i}, {PAG}_{j}} = 0, {q_{i}, {PAG}_{j}} = d_{i j} .

$\{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}.$ Y desde un punto de vista aún más abstracto, alguien podría demostrar que una transformación es canónica comprobando si conserva la estructura simpléctica de las ecuaciones de Hamilton. Si

J

$J$ es la matriz jacobiana y

E

$E$ el

2 n \times 2 n

$2n\times 2n$ matriz

mi = (\begin{matrix} 0 & d_{i j} \\ - d i j & 0 \end{matrix})

$E = \begin{pmatrix} 0 &\delta_{ij} \\ -\delta{ij} & 0 \end{pmatrix}$ entonces la estructura simpléctica se conserva iff

J E J^{⊤} = E

$J E J^\top = E$ . De paso,

J

$J$ se llama simpléctico en ese caso.

Una transformación canónica inducida por la función generadora $S$ tiene que satisfacer las tres condiciones, pero dado que son equivalentes, solo necesita verificar que una de ellas sea verdadera.

Hola, gracias por la respuesta. Cuando dices "En tu caso, tendrás que demostrar que la función generadora $S$ produce una transformación que cumple con estas ecuaciones". $\frac{\partial q_{j}}{\partial {PAG}_{i}} + \frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{j}} = 0 ?$ $\frac{\partial q_j}{\partial P_i}+\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}=0?$
Simplemente conecte la función generadora con $Q_i = \frac{\partial S}{\partial P_j}$ . Diferencie esta expresión con respecto a $p_j$ , que debe producir $0$ , desde $S$ no depende de $p_j$ .
No estoy seguro de estar de acuerdo con eso. Estrictamente hablando, si tuviera que diferenciar una función con argumentos $(\vec{q}, \vec{P})$ con respecto a $p_j$ tendrías que volver a expresar $\vec{P}$ como $\vec{P}(\vec{q},\vec{p})$ . Su derivada entonces involucraría la regla de la cadena y sería distinta de cero $\frac{\partial S}{\partial {pag}_{j}} = \frac{\partial S}{\partial {PAG}_{k}} \frac{\partial {PAG}_{k}}{\partial {pag}_{j}} .$ $\frac{\partial S}{\partial p_j}=\frac{\partial S}{\partial P_k}\frac{\partial P_k}{\partial p_j}.$ Las derivadas parciales se refieren a una derivada con respecto a una cierta ranura de los argumentos de la función.
Estoy de acuerdo contigo, mi argumento es que la derivada no es correcta. Pero he estado pensando en explotar la simetría de las derivadas parciales, es decir $\frac{\partial}{\partial {pag}_{j}} \frac{\partial}{\partial {PAG}_{k}} S = \frac{\partial}{\partial {PAG}_{k}} \frac{\partial}{\partial {pag}_{j}} S$ $\frac{\partial}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial P_k}S = \frac{\partial}{\partial P_k}\frac{\partial}{\partial p_j}S$ . ¿Qué opinas?
Oye, encontré la 'solución oficial' después de navegar un poco en línea. Está aquí si está interesado: damtp.cam.ac.uk/user/acla2/IS_handout1.pdf . Resulta que nuestro enfoque podría no haber sido el correcto. Más bien, estás destinado a usar el hecho de que una transformación $X \to y (X)$ $x\to y(x)$ es canónica iff la matriz jacobiana $Dy$ es simpléctico $D y j (D y)^{T} = j$ $Dy J (Dy)^T=J$

Función generadora para transformación canónica

Merk Zockerborg

Respuestas (2)

qmecanico

tobi7

Merk Zockerborg

tobi7

Merk Zockerborg

tobi7

Merk Zockerborg

tobi7

Cargas/constantes de movimiento conservadas dentro y fuera del caparazón

¿Sistema unidimensional un sistema hamiltoniano?

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Analogía del operador tensorial en la física clásica

¿Espacio de fase no euclidiano?

Confusión sobre las propiedades de los brackets de Poisson

Cálculo de la matriz espacial simpléctica estándar

¿Qué transformaciones son canónicas?

Forma simpléctica en espacio de fase covariante

¿Cómo funciona una transformación de Legendre H→LH→LH\to L en coordenadas no canónicas?