¿Espacio de fase no euclidiano?

Question

¿Espacio de fase no euclidiano?

Física
espacio de fase
cálculo tensorial
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

Sean E. Lago

En mecánica clásica, las ecuaciones canónicas de movimiento se pueden representar en términos de corchetes de Poisson :

\begin{aligned} {q_{i}, F (q, pag)} & = \frac{\partial F}{\partial {pag}_{i}}, \\ {{pag}_{i}, F (q, pag)} & = - \frac{\partial F}{\partial q_{i}}, a norte d \\ {H, F (q, pag)} & = - \frac{d F}{d t} . \end{aligned}

$\begin{align} \left\{q_i, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= \frac{\partial F}{\partial p_i}, \\ \left\{p_i, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\partial F}{\partial q_i},\ \mathrm{and} \\ \left\{H, F(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\operatorname{d} F}{\operatorname{d} t}. \end{align}$

Esto se entiende en el sentido de que el $q_i$ genera traducciones en el $-p_i$ dirección, $p_i$ en el $q_i$ dirección, y $H$ (el hamiltoniano) a través del tiempo. ¿Hay algo que se pueda ganar agregando un símbolo de Christoffel como una conexión a las ecuaciones canónicas (es decir, traduciendo el gradiente del espacio de fase en una derivada covariante )?

Concretamente, decir $V_j$ está en un espacio vectorial tangente a la variedad del espacio de fase (en alguna combinación de $\mathbf{q}$ y $\mathbf{p}$ direcciones, o en un espacio vectorial completamente no relacionado). ¿Es posible construir un espacio de fase significativo definiendo los corchetes de Poisson como:

\begin{aligned} {q_{i}, V_{j} (q, pag)} & = \frac{\partial V_{j}}{\partial {pag}_{i}} + {[Γ_{pag}]}_{i j}^{k} V_{k}, \\ {{pag}_{i}, V_{j} (q, pag)} & = - \frac{\partial V_{j}}{\partial q_{i}} - {[Γ_{q}]}_{i j}^{k} V_{k}, a norte d \\ {H, V_{j} (q, pag)} & = - \frac{d V_{j}}{d t} - {[Γ_{t}]}_{i j}^{k} V_{k}, \end{aligned}

$\begin{align} \left\{q_i, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= \frac{\partial V_j}{\partial p_i} + \left[\Gamma_p\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k, \\ \left\{p_i, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\partial V_j}{\partial q_i} - \left[\Gamma_q\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k,\ \mathrm{and} \\ \left\{H, V_j(\mathbf{q},\mathbf{p})\right\} &= -\frac{\operatorname{d} V_j}{\operatorname{d} t}- \left[\Gamma_t\right]_{i\hphantom{k}j}^{\hphantom{i}k} V_k, \end{align}$ o alguna construcción análoga?

¿Es siempre expresable el espacio de fase curvo resultante, a través de alguna transformación de coordenadas y hamiltoniano, utilizando ecuaciones de movimiento canónicas ordinarias?

AccidentalFourierTransformar

no puede hacer que una transformación de coordenadas canónicas cambie sus corchetes de Poisson (esa es más o menos la definición de canónico). De todos modos, es posible que desee buscar en Googlegeomeotry of poisson brackets

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¿Espacio de fase no euclidiano?

no puede hacer que una transformación de coordenadas canónicas cambie sus corchetes de Poisson (esa es más o menos la definición de canónico). De todos modos, es posible que desee buscar en Googlegeomeotry of poisson brackets

qmecanico · Answer 1

Dada una variedad simpléctica $(M,\omega)$ , es natural preguntarse qué conexión de haz tangente
$\begin{matrix} (1) & \nabla : Γ (T METRO) \times Γ (T METRO) \to Γ (T METRO) \end{matrix}$ $\nabla: \Gamma(TM)\times\Gamma(TM)\to \Gamma(TM) \tag{1}$ ¿elegir?
Genéricamente, es natural elegir $\nabla$ estar libre de torsión
$\begin{matrix} (2) & T = 0, \end{matrix}$ $T~=~0,\tag{2}$ y compatibles $\begin{matrix} (3) & \nabla ω = 0 \end{matrix}$ $\nabla \omega~=~0\tag{3}$ con el simpléctico $2$ -forma $\omega$ .
Uno puede mostrar (a través de la partición de la unidad) que una conexión sin torsión y compatible $\nabla$ existe en un colector paracompacto, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Tenga en cuenta que tal conexión $\nabla$ está lejos de ser único.
el triple $(M,\omega,\nabla)$ se denomina variedad de Fedosov y es la entrada geométrica para el producto estrella de Fedosov $\star$ en la cuantización de la deformación .
La cuantificación de Fedosov se puede utilizar para definir derivadas covariantes y evolución temporal para campos tensoriales, cf. referencias 1-2. La construcción clásica se puede extraer en el $\hbar\to 0$ límite.
En casos especiales la variedad simpléctica $(M,\omega)$ está dotado de una métrica compatible $g$ , cf. múltiple de Kähler . En tales situaciones, la métrica $g$ destaca de manera única la conexión Levi-Civita . Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.
Finalmente, mencionemos que si la variedad simpléctica $M=T^{\ast}Q$ es un paquete cotangente equipado con la estructura simpléctica tautológica (cf., por ejemplo , esta publicación de Phys.SE), y la variedad base $Q$ está dotado de una conexión, esto también conduce a posibilidades interesantes, por ejemplo, un soporte de super-Poisson, cf. Árbitro. 3.

Referencias:

BV Fedosov, Una construcción geométrica simple de cuantización de deformación, J. Diff. Geom. 40 (1994) 213.
BV Fedosov, Cuantización de la deformación y teoría del índice, Temas matemáticos, vol. 9, Akademie Verlag, Berlín, 1996.
B. DeWitt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992; Sección 6.7.

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Sean E. Lago

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