¿Cómo funciona una transformación de Legendre H→LH→LH\to L en coordenadas no canónicas?

Dejar$H(z)$ser un hamiltoniano y$\omega_{ij}$la forma simpléctica en el espacio de fase y$\omega^{ij}$su inversa$\omega_{ij} \omega^{jk} = \delta^k_i$. Sabemos que las ecuaciones de Hamilton se dan entonces como

$$\dot{z}^i = \omega^{ij} \partial_j H$$ En coordenadas canónicas $z\to p_i,q^j$solo tenemos $$\omega^{ij} = \begin{pmatrix} 0 & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix}$$ y, por lo tanto, la forma de coordenadas habitual de las ecuaciones de Hamilton y la transformación de Legendre $$L = p_i \frac{\partial H}{\partial p_i} - H(p,q)$$ Sin embargo, existen sistemas (un ejemplo sería un hamiltoniano para peonzas) donde $\omega^{ij}$no se puede poner globalmente en la forma canónica dada arriba. ¿Cómo se ejecuta entonces una transformación de Legendre?

En otras palabras: ¿Existe una fórmula general cerrada para un Lagrangiano$L$en términos de$H$, coordenadas generales del espacio de fase$z$, y la forma simpléctica$\omega_{ij}$?

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Para agregar algo de contexto: lo que quiero, de hecho, es escribir la acción en el espacio de fase

$$S[z(t)] = \int p_i \dot{q}^i - H(p,q) \mathrm{d}t \,,$$ dónde $\dot{q}^i$no se da en términos de variables de espacio de fase. Esto es entonces útil en el enfoque variacional de la estructura simpléctica como se discute, por ejemplo, por Marsden et al. (1986) .