Propagador diferencial, función de Green, función de correlación, etc.

La distinción principal que desea hacer es entre la función de Green y el kernel. (Prefiero la terminología "Función de Green" sin la 's. Imagine un nombre diferente, digamos, Feynman. La gente definitivamente diría la función de Feynman, no la función de Feynman. Pero estoy divagando...)

Comience con un operador diferencial, llámelo$L$. Por ejemplo, en el caso de la ecuación de Laplace, entonces$L$es el laplaciano$L = \nabla^2$. Entonces, la función de Green de$L$es la solución de la ecuación diferencial no homogénea

$$L_x G(x, x^\prime) = \delta(x - x^\prime)\,.$$ Hablaremos de sus condiciones de contorno más adelante. El núcleo es una solución de la ecuación homogénea. $$L_x K(x, x^\prime) = 0\,,$$ sujeto a una condición de contorno de Dirichlet $\lim_{x \rightarrow x^\prime}K(x,x^\prime) = \delta (x-x^\prime)$, o condición de contorno de Neumann $\lim_{x \rightarrow x^\prime} \partial K(x,x^\prime) = \delta(x-x^\prime)$.

Entonces, ¿cómo los usamos? La función de Green resuelve ecuaciones diferenciales lineales con términos impulsores.$L_x u(x) = \rho(x)$se resuelve por

$$u(x) = \int G(x,x^\prime)\rho(x^\prime)dx^\prime\,.$$ Cualesquiera que sean las condiciones de contorno que impongamos a la solución $u$especificar las condiciones de contorno que imponemos $G$. Por ejemplo, una función de Green retardada propaga la influencia estrictamente hacia adelante en el tiempo, de modo que $G(x,x^\prime) = 0$cuando sea $x^0 < x^{\prime\,0}$. (El 0 aquí denota la coordenada de tiempo.) Se usaría esto si la condición límite en $u$era que $u(x) = 0$muy en el pasado, antes del término fuente $\rho$"encender."

El kernel resuelve problemas de valores en la frontera. Digamos que estamos resolviendo la ecuación$L_x u(x) = 0$en un múltiple$M$y especificar$u$en el límite$\partial M$ser - estar$v$. Después,

$$u(x) = \int_{\partial M} K(x,x^\prime)v(x^\prime)dx^\prime\,.$$ En este caso, estamos usando el núcleo con condiciones de contorno de Dirichlet.

Por ejemplo, el núcleo de calor es el núcleo de la ecuación de calor, en la que

$$L = \frac{\partial}{\partial t} - \nabla_{R^d}^2\,.$$ Podemos ver eso $$K(x,t; x^\prime, t^\prime) = \frac{1}{[4\pi (t-t^\prime)]^{d/2}}\,e^{-|x-x^\prime|^2/4(t-t^\prime)},$$ resuelve $L_{x,t} K(x,t;x^\prime,t^\prime) = 0$y además satisface $$\lim_{t \rightarrow t^\prime} \, K(x,t;x^\prime,t^\prime) = \delta^{(d)}(x-x^\prime)\,.$$ (Debemos tener cuidado de considerar sólo $t > t^\prime$y, por lo tanto, también tome un límite direccional). Digamos que le dan alguna forma $v(x)$en el momento $0$y querer "derretirse" es según la ecuación del calor. Luego, más tarde, esta forma se ha convertido $$u(x,t) = \int_{R^d} K(x,t;x^\prime,0)v(x^\prime)d^dx^\prime\,.$$ Entonces, en este caso, el límite era el intervalo de tiempo en $t^\prime = 0$.

Ahora para el resto de ellos. El propagador a veces se usa para referirse a la función verde, a veces se usa para referirse al núcleo. El propagador de Klein-Gordon es una función de Green, porque satisface$L_x D(x,x^\prime) = \delta(x-x^\prime)$por$L_x = \partial_x^2 + m^2$. Las condiciones de contorno especifican la diferencia entre los propagadores retardado, avanzado y Feynman. (¿Ves? No es el propagador de Feynman) En el caso de un campo de Klein-Gordon, el propagador retardado se define como

$$D_R(x,x^\prime) = \Theta(x^0 - x^{\prime\,0})\,\langle0| \varphi(x) \varphi(x^\prime) |0\rangle\,$$ dónde $\Theta(x) = 1$por $x > 0$y $= 0$de lo contrario. La función de Wightman se define como $$W(x,x^\prime) = \langle0| \varphi(x) \varphi(x^\prime) |0\rangle\,,$$ es decir, sin la restricción de ordenamiento temporal. ¿Pero adivina que? Resuelve $L_x W(x,x^\prime) = 0$. Es un núcleo. la diferencia es que $\Theta$en el frente, que se convierte en un Dirac $\delta$al tomar una derivada de tiempo. Si se usa el núcleo con condiciones de contorno de Neumann en un límite de segmento de tiempo, la relación $$G_R(x,x^\prime) = \Theta(x^0 - x^{\prime\,0}) K(x,x^\prime)$$ es general

En mecánica cuántica, el operador de evolución

$$U(x,t; x^\prime, t^\prime) = \langle x | e^{-i (t-t^\prime) \hat{H}} | x^\prime \rangle$$ es un núcleo. Resuelve la ecuación de Schroedinger y es igual a $\delta(x - x^\prime)$por $t = t^\prime$. La gente a veces lo llama el propagador. También se puede escribir en forma de integral de trayectoria.

Las funciones de respuesta lineal y de respuesta de impulso son funciones de Green.

Todas estas son funciones de correlación de dos puntos. "Dos puntos" porque todas son funciones de dos puntos en el espacio (tiempo). En la teoría cuántica de campos, la teoría estadística de campos, etc. también se pueden considerar funciones de correlación con más inserciones de campo/variables aleatorias. ¡Ahí es donde comienza el verdadero trabajo!

Han pasado muchos años desde que hiciste esta pregunta. Supongo que con el tiempo ha compilado definiciones de significado y distinciones para los otros términos de su lista. Sin embargo, hay términos no definidos por la respuesta de @josh (una respuesta en la que me he basado varias veces, gracias por publicarla @josh). Personalmente, mi experiencia es en Lattice QCD, que es tanto una teoría cuántica de campos como una teoría estadística de campos. Así que también me he tenido que sentar y ordenar los significados de todos estos términos. Doy una discusión mucho más directa de estos conceptos con respecto a la partición termodinámica fxn y la energía libre,$F$en ( Susceptibilidades y funciones de respuesta ). Esta es la GRAN imagen que se me ocurrió durante mi programa de doctorado.

El problema es que mucha gente está confundida acerca de esto y, por lo tanto, A MENUDO las personas simplemente definen su propia jerga. En su mayoría, son todos iguales, pero cuando incluye algún término de interacción o comienza a cambiar polos complejos alrededor de estas cosas, estas cosas pueden volverse turbias. Para ser gracioso, todo es igual si no quieres pensar demasiado en ello, de ahí que haya tanta confusión.

---- El Corto y Dulce ----

En primer lugar, todos los propagadores, Green fxns, Wightman y los fxns de respuesta lineal SIEMPRE pueden entenderse como funciones de correlación de 2 puntos (discutidas detalladamente a continuación).

Efectos verdes, Efectos de respuesta lineal, Propagadores

• La función de respuesta lineal ES una función de Green.
• El propagador de una teoría de campo que no interactúa ES una función de Green ( fxn ).
• El propagador de una teoría de campos que interactúan es una convolución entre la función de Green de la teoría que no interactúa y una "función espectral" (representación espectral de Kallen-Lehmann). Por lo tanto, el propagador es un fxn verde o una combinación lineal de fxns verdes... ¡Fácil!

Integración de contornos

• Los adjetivos "causal/retrasado" y "Feynman" se pueden aplicar tanto a propagadores como a Green fxns. Describen el contorno utilizado para integrarse alrededor de los polos del propagador/fxn verde. Esto se discute en las notas de la conferencia QFT de David Tong y GK aquí ( propagador causal y propagador Feynman ).
• Generalmente retrasado/causal$n$-point fxns se pueden expresar (Peskin vs Tong Lectures & Wiki respectivamente): $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left< [\phi(x), \phi(y)] \right>$$ $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left< \phi(x), \phi(y) \right>$$ Estos propagadores satisfacen la propiedad causal por lo que también son una función de respuesta lineal $\chi$(tonga).
• El Feynman , también conocido como propagador ordenado por tiempo, tiene una convención uniforme en la literatura. $$D_{Feynman} = \Theta(x^0-y^0) \left< \phi(x), \phi(y) \right> + \Theta(y^0-x^0) \left< \phi(y), \phi(x) \right> = \left< \mathcal{T} \phi(x) \phi(y) \right>$$
• La función de Wightman es, por definición, solo una función de correlación (Peskin, Zee, Zuber, Huang). Nada especial, excepto que son los componentes básicos de otros propagadores. $$\Delta^{(+)} = \left< \phi(x) \phi(y) \right>$$ $$\Delta^{(-)} = \left< \phi(y) \phi(x) \right>$$ $$D_{Retarded} = \Theta(x^0-y^0) \left( \Delta^{(+)} - \Delta^{(-)} \right)$$ $$D_{Feynman} = \Theta(x^0-y^0) \Delta^{(+)} - \Theta(y^0-x^0) \Delta^{(-)}$$

---- Fxns de respuesta lineal son fxns de correlación de 2 puntos ----

Comenzaré con las fórmulas de Kubo. Esta derivación sigue la "Teoría cinética" de Tong, Gale$\&$Kapusta. Supongamos que tenemos un sistema en equilibrio y le aplicamos una pequeña perturbación. Esto parece un hamiltoniano de equilibrio.$H_0$y la perturbación$V_I$,

$$H(t) = H_0 + V_I(t)$$ Para este ejemplo, supongamos que hemos aplicado un campo eléctrico a un alambre. Entonces la función de respuesta lineal terminará siendo la conductividad. Escribimos el potencial de interacción como algún término fuente,$\phi$(campo escalar dependiente del tiempo, externo, de valor c) multiplicado por un observable,$J$me gusta, $$V_I(t) = \phi(t) J(t)$$

Ahora considere el valor esperado del observable,$J(t)$después de la perturbación$V_I(t)$Está aplicado.

$$\left< J(t) \right> = \left< U^{-1}(t,t_0) J(t) U(t,t_0) \right>_{eq}$$ Donde por la serie Schwinger-Dyson ( https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series ) tenemos que$U^{-1}(t,t_0) = \mathcal{T}\exp(- i \int_{t_0}^t dt' V_I(t'))$, que a orden lineal da: $$\left< J(t) \right> \approx \left< \left(1 + i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right) J(t) \left(1 - i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right) \right>_{eq}$$ Podemos expandir este valor esperado por la propiedad de distribución y eliminar el término no lineal$\propto \left( \int_{t_0}^t dt' V_I(t') \right)^2$. nos quedamos, $$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + \left< i \int_{t_0}^t dt' V_I(t') J(t) - i \int_{t_0}^t dt' J(t) V_I(t') \right>_{eq}$$ $$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + i \left< \int_{t_0}^t dt' [ V_I(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Insertar definición de$V_I$desde arriba y restar el valor de equilibrio de observable $$\left< J(t) \right> - \left< J(t) \right>_{eq} = \delta \left< J(t) \right> \approx i \int_{t_0}^t dt' \phi(t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Deje que la fuente se encienda infinitamente hace mucho tiempo ($t_0 \rightarrow -\infty$) e inserte la función de lado pesado ($t \rightarrow \infty$). $$\delta \left< J(t) \right> \approx i \int_{-\infty}^{\infty} dt' \Theta(t-t') \phi(t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$$ Podemos agrupar términos para definir la función de respuesta lineal,$\chi$. Donde debido a la invariancia de la traducción del tiempo, $$i \Theta(t-t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq} = \chi (t',t) = \chi (t' - t)$$ Así llegamos a nuestra expresión final. $$\delta \left< J(t) \right> \approx \int_{-\infty}^{\infty} dt' \phi(t') \chi (t'- t)$$ Vemos aquí que$[ J(t'), J(t) ] = J(t')J(t) - J(t)J(t')$por lo que la función de respuesta lineal es equivalente a una función de correlación de 2 puntos. Además la forma$i \Theta(t-t') \left< [ J(t'), J(t) ] \right>_{eq}$coincide con la definición de Peskin de la función verde retardada (también conocido como propagador de campo libre)

También podemos generalizar, cuando el observable en el valor esperado y el observable en el observable en el hamiltoniano no son el mismo observable. El observable que se mide no es el observable acoplado al término fuente. Por ejemplo,

$$\left< \mathcal{O}_i(t) \right> \approx \left< \mathcal{O}_i(t_0) \right>_0 + i \int dt' \phi(t') \left< [ \mathcal{O}_j(t'), \mathcal{O}_i(t_0) ] \right>$$ Entonces estás calculando una función de correlación cruzada.

---- Los propagadores son fxns de correlación de 2 puntos ----

El formalismo funcional de QFT nos mostrará que el propagador es una función de correlación de 2 puntos.

Para llegar al formalismo funcional QFT, comenzamos con la formulación integral de la trayectoria de la amplitud de transición de la mecánica cuántica y agregamos un término fuente (AQUÍ ES DONDE @josh TERMINÓ SU RESPUESTA, por lo que solo estamos retomando donde lo dejó ... ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation#Path_integral_formula )

$$\mathcal{Z}[J] = \int D_{\phi} e^{-S_E[\phi] + i\int d^4x J[x]\phi[x])}$$ Exactamente como en nuestra discusión de respuesta lineal, nuestro término fuente es un campo$\phi$, con un observable/actual$J$. Tenga en cuenta que a nuestra acción euclidiana rotada de mecha$S_E$es equivalente al hamiltoniano http://www.math.ucr.edu/home/baez/classical/spring_garett.pdf ) De modo que$\mathcal{Z}[J]$no es solo una amplitud de transición, sino una función de partición generalizada. Básicamente, hemos asociado un factor de Boltzmann a todas las configuraciones de campo posibles. Este factor de Boltzmann define una medida de probabilidad conocida como la medida de Gibbs. $$\mathcal{Z}[J] = \int D\mu\{x\} e^{ \int d^4x J[x]\phi[x]}= \mathbb{E}\left[ \exp[i\int d^4x J[x]\phi[x] ]\right]$$ $$D\mu\{x\} = D_{\phi} \frac{e^{-S_E[\phi]}}{\mathcal{Z}[0]}$$ Usando la Medida de Gibb ahora vemos que la función generadora es la función Generadora de Momento de la teoría de la probabilidad cuyo argumento es un conjunto de variables estocásticas (los campos cuánticos$\phi[x]$).

A$\#$función de correlación pt (acortada a$\#$pt-función) se puede expresar a través de derivados funcionales de la generación funcional.

$$\left< \prod_k \phi[x_k] \right> = (-i)^n\frac{1}{\mathcal{Z}[0]}\frac{\partial^n\mathcal{Z}}{\prod_k \partial J[x_k]}|_{J=0}$$ Entonces, por definición, la$n$función de punto son las$n^{th}$momentos de la medida de Gibbs.

Podemos ver por definición que la amplitud de transición es el segundo momento de la medida de Gibbs. Por lo tanto, el propagador es una función de 2pt

---- Las funciones verdes son fxns de correlación de 2 puntos ----

Como se indicó, Green fxn es un límite de campo libre del propagador. Pero este caso se puede resolver analíticamente, por lo que en lugar de solo dar un argumento, podemos mostrar para el campo escalar libre que la función de 2 puntos es su Green fxn.

En "QFT in a NutShell" CH 1.3, Zee muestra que para un campo libre, la función generadora se puede escribir

$$Z[J] = Z[J=0] e^{\frac{i}{2} \iint d^4x' d^4y' J(x') G_F(x'-y')J(y')}$$ Tomando la derivada funcional $$\begin{align} \frac{-1}{Z[0]}\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)} \big\vert_{j=0} &= \frac{-1}{2Z[0]}\frac{\delta}{\delta J(x)} \left( Z[j] \left( \int d^4y' G_F(y'-y) J(y') + \int d^4x' J(x') G_F(x'-y) \right) \right) \big\vert_{j=0} \\ &= \frac{1}{2Z[0]} \left( Z[J] \times 2 G_F(x-y) \right) \big\vert_{j=0} \\ &= G_F(x-y) \end{align}$$ Así llegamos a la afirmación anterior de que para el campo libre el propagador produce la fxn verde. Dado que la función verde es el propagador para un campo libre y todos los propagadores son fxns de 2 puntos, entonces... ( redoble de tambores, por favor )... Todos los fxns verdes son fxns de 2 puntos.

---- Una conexión entre propagadores, fxns verdes y fxns de respuesta lineal ----

Podríamos haber acortado todas estas derivaciones y simplemente hecho una expansión de Volterra (como una expansión de Taylor pero con convoluciones en lugar de derivadas - https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra_series#Continuous_time ). En orden lineal, la expansión Volterra es... ¡lo has adivinado!

$$\left< J(t) \right> \approx \left< J(t) \right>_{eq} + \int_{t_0}^t dt' \phi(t') \chi (t'- t)$$ Tenga en cuenta que hemos truncado nuestra expansión no lineal de Volterra en orden lineal, por lo que elegimos tener un sistema lineal para el cual los enfoques de función de Green podrían resolver.

Para vencer a un caballo muerto: dice en la página wiki para funciones verdes "Si el operador es invariante de traducción, entonces la función de Green puede tomarse como un operador de convolución. En este caso, la función de Green es la misma que la respuesta de impulso de teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo".

Además, el término fuente,$\phi(t)$en mi perturbación,$V_I(t)$, es equivalente a la "fuerza impulsora" a la que @josh se refiere como$\rho$. Desde este punto de vista de la serie Volterra puedes ver cómo nuestras respuestas están conectadas.

Si desea considerar interacciones no lineales, entonces no puede truncar su serie Voltarre en primer orden y sus núcleos de respuesta se vuelven no lineales. ¡Todo el sistema ya no se puede resolver con una mísera función Green! Necesitará diagramas de Feynman de orden superior con bucles y vértices y toda esa basura.

--------------- CITAS ---------------------------

https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-324-relativistic-quantum-field-theory-ii-fall-2010/lecture-notes/MIT8_324F10_Lecture7.pdf

David Tong "Notas de la conferencia sobre teoría cinética" http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html

David Tong "Notas de la conferencia QFT" http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html

Gale Kapusta "Temperatura finita FT"

Le Bellac "Térmica FT"

peskin$\&$Schroder "Introducción a QFT"

Huang "Operadores a integral de trayectoria"

Zee "QFT en pocas palabras"

Itzykson Zuber "Introducción a QFT"

la respuesta de josh es buena, pero creo que hay dos puntos que requieren aclaración.

Primero, su oración que define el núcleo no tiene sentido, porque tal como está escrita, la variable límite ficticia aparece en ambos lados de la ecuación. En este contexto, necesitamos distinguir entre una sola variable dependiente de "tipo de tiempo"$t$y las otras variables dependientes de "tipo espacio"${\bf x}$, que reciben un trato desigual. (No estoy usando los términos "temporal" o "espacial" para evitar confusiones con la relatividad especial, ya que esta distinción puede aplicarse ya sea que la PDE sea invariante de Lorentz o no).

La declaración correcta es "El núcleo es una solución de la ecuación homogénea$L_{{\bf x}, t}\, K({\bf x}, t; {\bf x}', t') = 0$, sujeto a una condición de contorno de Dirichlet [en el tiempo]$K({\bf x}, t; {\bf x}', t) = \delta^d({\bf x} - {\bf x}')$o una condición de frontera de Neumann$\partial_t K({\bf x}, t; {\bf x}', t) = \delta^d({\bf x} - {\bf x}')$, dónde$d$es el número de dimensiones espaciales ".

Además, creo que es engañoso poner en negrita la palabra "lineal" solo cuando se habla de la función de Green, porque eso parece implicar que la linealidad es importante para distinguir la función de Green y el kernel. De hecho, el kernel también se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Diría que la principal diferencia entre sus casos de uso es que la función de Green se usa para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas , y el kernel se usa para resolver problemas homogéneos de valores límite. (Para los problemas de valores de contorno no homogéneos, la idea del núcleo se subsume efectivamente en el proceso de elegir la función de Green para obtener las condiciones de contorno correctas).