Función de correlación y cuadrivectores, ¿cómo simplificar una integral triple?

Question

Función de correlación y cuadrivectores, ¿cómo simplificar una integral triple?

Física
propagador
integración
greens-funciones
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

escaramuzador99

A continuación considere el caso donde $x-y$ es puramente espacial: $x^0-y^0=0, \mathbf{x-y}=\mathbf{r}$ . La amplitud es entonces
$\begin{aligned} D (X - y) & = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 {mi}_{pag}} {mi}^{i pag \cdot r} \\ = \frac{2 π}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} d pag \frac{{pag}^{2}}{2 {mi}_{pag}} \frac{{mi}^{i pag r} - {mi}^{- i pag r}}{i pag r} \\ = \frac{- i}{2 (2 π)^{2} r} \int_{- \infty}^{\infty} d pag \frac{pag {mi}^{i pag r}}{\sqrt{{pag}^{2} + {metro}^{2}}} \end{aligned}$ $\begin{align} D(x-y)&=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\\&=\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^{\infty}dp\frac{p^2}{2E_\mathbf{p}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}\\&=\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{pe^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}} \end{align}$

¿Alguien puede explicarme cómo simplificó esa integral triple en una simple? Es del libro de Peskin Una introducción a la teoría cuántica de campos.

G. Smith

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Respuestas (2)

Función de correlación y cuadrivectores, ¿cómo simplificar una integral triple?

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G. Smith · Answer 1

Usó coordenadas polares esféricas en el espacio de momentos y realizó las integraciones angulares. En otras palabras,

d^{3} pag = {pag}^{2} pecado θ d pag d θ d ϕ .

$d^3p=p^2\sin\theta\,dp\,d\theta\,d\phi.$

Para hacer las integraciones angulares, tome el eje polar a lo largo $\mathbf r$ de modo que el ángulo entre $\mathbf p$ y $\mathbf r$ es $\theta$ .

Es importante darse cuenta de que tiene la libertad de introducir cualquier coordenada que facilitará el cálculo de una integral que involucre vectores.

¿La integral sobre las coordenadas angulares no debería darme 4pi?
No, porque el producto punto implica un coseno del ángulo entre los dos vectores. Si tomas el eje polar a lo largo $\mathbf r$ , entonces este ángulo es $\theta$ . Entonces $\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}=p\,r\cos\theta$ .

charlie · Answer 2

En lugar de hacer una integral de $d^3p$ sobre todo $\Bbb R^3$ puede cambiar a coordenadas polares esféricas e integrar la esfera sobre todo $r$ (que en este caso acaban de llamar $p$ de nuevo). Tenga en cuenta que la primera integral ha terminado $(-\infty,+\infty)$ y el segundo ha terminado $(0,\infty)$ .

¿La integral sobre las coordenadas angulares no debería darme 4pi?

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