¿Cómo conectar la función Green al propagador?

Sé que ya ha habido muchas preguntas relacionadas con esta pregunta, como en Propagador diferencial, función de Green, función de correlación , etc. Sin embargo, esa pregunta discrimina principalmente la función de Green y el núcleo, solo discuta brevemente el propagador como lo conocemos a menudo. Ahora no pretendo duplicar otras preguntas relacionadas con esta pregunta, si encuentra otras relacionadas, infórmeme y las eliminaré, simplemente no he encontrado una respuesta satisfactoria. Para ser más específicos, lo que quiero decir con propagador es lo siguiente:

Δ ( X , t ; X ′ , t ′ ) = ⟨ X | tu ( t , t ′ ) | X ′ ⟩

O en la configuración de QFT

Δ ( X , t ; X ′ , t ′ ) = ⟨ 0 | T [ ϕ ( H ) ( X ′ , t ′ ) ϕ † ( H ) ( X , t ) ] | 0 ⟩ .

Quiero saber cómo conectar esto a la función verde o función de correlación, que se define como (dos puntos)

GRAMO ( X 1 , X 2 ) = ⟨ ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ⟩ = ∫ D ϕ mi − S [ ϕ ] ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) Z .

En mi propio intento de entender esto, podríamos intentar escribir la función verde de la siguiente manera. (En la configuración de QFT)

GRAMO ( X 1 , t 1 ; X 2 , t 2 ) = ⟨ T [ ϕ ( H ) ( X 1 , t 1 ) ϕ † ( H ) ( X 2 , t 2 ) ] ⟩ = ⟨ T [ mi i H t 1 ϕ ( X 1 ) mi − i H ( t 1 − t 2 ) ϕ † ( X 2 ) mi − i H t 2 ] ⟩ .

Ahora parece que se siente como la función de evolución en el propagador, pero ¿cómo se puede lidiar con la parte del "valor esperado" de la definición de la función verde, que falta en la definición del propagador?

También sé que la función de partición Z podría estar relacionado con la integral del propagador de tiempo imaginario, pero realmente no podría poner todas estas cosas borrosas en su lugar a la vez.

Su definición de función de dos puntos se da en lenguaje de ruta integral, mientras que la expresión para Δ está escrito en lenguaje de operador. Ambos lenguajes son iguales, describen las mismas cantidades. Solo una diferencia que debes tener en cuenta: la función de Green resuelve la ecuación L F = lado derecho , donde RHS puede contener función delta o no.
Busque el primer capítulo de la teoría cuántica de campos en una red de Montvay y Munster, encontrará un tratamiento matemáticamente riguroso del tema.
@David Morgante. ¡Oh gracias! Acabo de leer el libro, es excelente! Creo que omito dos puntos cruciales aquí: 1) el valor esperado es "expectativa de estado fundamental" no "expectativa térmica"; 2) cuando trabajamos en lenguaje de integral de ruta, tenemos que tomar τ hasta el infinito para que el valor esperado del estado fundamental se convierta en el término dominante en la traza. ¿Es correcto mi entendimiento?
Creo que el libro de J. Zinn-Justin Path integral in quantum mechanics también brinda una excelente descripción del tema, a quien pueda interesar.
Al deletrear el operador ordenado en el tiempo, puede escribir lo que llama el propagador (causal), en términos de correladores. No hay magia negra.

Respuestas (1)

Muy bien, después de días de mirar libros de texto, finalmente tengo una idea de cómo se organizan las cosas, trataré de juntar todas las cosas para dar una distinción clara a las personas que también están confundidas por esto.

Básicamente, es la diferencia entre el lenguaje del operador y el lenguaje integral de ruta, y utiliza el hecho de que la función verde en tiempo real se define en temperatura cero.

En la formulación de la integral de trayectoria, tendemos a hablar sobre el valor esperado, por lo que en este lenguaje escribimos la función verde en términos del valor esperado de "función pura" o "función de correlación", ya no hay operador:

GRAMO ( X 1 , X 2 ) = ⟨ ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ⟩

En la formulación del operador, tendemos a preocuparnos de cómo opera el operador en los estados y cuál es su resultado. En este lenguaje, escribimos la función verde en el valor esperado de los elementos de la matriz de los operadores.

GRAMO ( X 1 , X 2 ) = ⟨ T [ ϕ ( X 1 , t 1 ) ϕ † ( X 2 , t 2 ) ] ⟩

Al hacer este cálculo del valor esperado, en realidad nos enfrentamos a dos situaciones, temperatura finita o temperatura cero. En el escenario de temperatura cero, las contribuciones del estado fundamental dominan y podríamos escribir el valor esperado de los operadores como:

GRAMO ( X 1 , X 2 ) = ⟨ 0 | T [ ϕ ( X 1 , t 1 ) ϕ † ( X 2 , t 2 ) ] | 0 ⟩

Y eso es lo que solemos llamar “propagador”.

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