¿Por qué funciones de correlación?

La función de correlación que escribiste es una correlación completamente general de dos cantidades,

$$\langle f(X) g(Y)\rangle$$ solo usas el simbolo $x'$por $Y$y el símbolo $x+x'$por $X$.

Si el entorno, el vacío o el material, es invariante en la traducción, significa que sus propiedades no dependen de las traducciones generales. Así que si cambias$X$y$Y$por la misma cantidad, por ejemplo, por$z$, la función de correlación no cambiará.

En consecuencia, puede cambiar por$z=-Y=-x'$lo que significa que el nuevo$Y$será cero. Asi que

$$\langle f(X) g(Y)\rangle = \langle f(X-Y)g(0)\rangle = \langle f(x)g(0) \rangle$$ Como puede ver, para sistemas traslacionalmente simétricos, la función de correlación solo depende de la diferencia de las coordenadas, es decir, la separación de los argumentos de $f$y $g$, que es igual a $x$en tu caso.

Así que esto debería haber explicado la dependencia de$x$y$x'$.

Ahora bien, ¿qué es un correlador? Clásicamente, es un promedio sobre la distribución probabilística

$$\langle S \rangle = \int D\phi\,\rho(\phi) S(\phi)$$ Esto es válido para $S$siendo el producto de varias cantidades, también. La integral recorre todas las configuraciones posibles del sistema físico y $\rho(\phi)$es la densidad de probabilidad de la configuración particular $\phi$.

En la mecánica cuántica, la función de correlación es el valor esperado en el estado real del sistema, generalmente el estado fundamental y/o un estado térmico. Para un estado fundamental que es puro, tenemos

$$\langle \hat{S} \rangle = \langle 0 | \hat{S} | 0 \rangle$$ donde el vector 0-ket es el estado fundamental, mientras que para un estado térmico expresado por una matriz de densidad $\rho$, la función de correlación se define como $$\langle \hat{S} \rangle = \mbox{Tr}\, (\hat{S}\hat{\rho})$$ Bueno, las funciones de correlación son funciones que conocen la correlación de las cantidades físicas. $f$y $g$en dos puntos. Si la correlación es cero, parece que las dos cantidades son independientes entre sí. Si la correlación es positiva, parece probable que las dos cantidades tengan el mismo signo; cuanto más positivo es, más se correlacionan. Están correlacionados con signos opuestos si la función de correlación es negativa.

En la teoría cuántica de campos, las funciones de correlación de dos operadores, tal como escribiste, se conocen como el propagador y es la expresión matemática que reemplaza todas las líneas internas de los diagramas de Feynman. Te dice cuál es la amplitud de probabilidad de que la partícula correspondiente se propague desde el punto$x+x'$al punto$x'$. Por lo general, es distinto de cero solo dentro del cono de luz y depende solo de la diferencia de las coordenadas. Una excepción a esto es el propagador de Feynman en QED. También es distinto de cero fuera del cono de luz, pero invoca antipartículas, que cancelan esta contribución distinta de cero fuera del cono de luz y preservan la causalidad.

Las funciones de correlación que involucran un número positivo arbitrario de operadores se conocen como funciones de Green o$n$-funciones puntuales si un producto de$n$cantidades está entre paréntesis. En cierto sentido, el$n$-Las funciones puntuales saben todo acerca de las cantidades dinámicas calculables que describen el sistema físico. El hecho de que todo pueda expandirse en funciones de correlación es una generalización de las expansiones de Taylor al caso de infinitas variables.

En particular, la amplitud de dispersión para$n$partículas externas (el número total, incluidas las entrantes y salientes) se puede calcular a partir de la$n$-funciones puntuales. Los diagramas de Feynman mencionados anteriormente son un método para hacer este cálculo de manera sistemática: un correlacionador complicado puede reescribirse en una función de las funciones de 2 puntos, los propagadores, contraídos con los vértices de interacción.

Hay muchas palabras para describir físicamente una función de correlación en varios contextos, como las funciones de respuesta, etc. La idea es que inserte una impureza o una señal en$x'$, ese es su$g(x')$, y estudias cuanto el campo$f(x+x')$en el punto$x+x'$es afectado por la impureza$g(x')$.

un ejemplo muy intuitivo para las funciones de correlación se puede ver en la metrología de motas láser .

Si ilumina una superficie que es rugosa en comparación con la longitud de onda, la señal reflejada resultante será de alguna manera aleatoria . Esto también se puede afirmar que no se puede decir desde un punto de una señal cómo se ve uno vecino: no están correlacionados . Este campo se suele denominar patrón moteado .

Este hecho se puede utilizar. Supongamos que toma una imagen$A(x,y)$de tal campo disperso al azar, un movimiento de la imagen

$$(x,y)\rightarrow (x+\delta_x, y+\delta_y) = (x',y')$$ de este modo $$B(x,y) \approx A(x',y')$$

será claramente visible y dado que toda la información es estadística, se encuentra que

$$C(\Delta_x,\Delta_y) = \int B(x,y) A(x + \Delta_x, y + \Delta_y) dx dy$$

sólo tendrá una contribución "grande" en$(\Delta_x,\Delta_y) \equiv (\delta_x, \delta_y)$de alguna forma puntiaguda. El ancho del pico vendrá dado por algunas propiedades físicas de la iluminación, rugosidad de la superficie, etc. - corresponde directamente a la variación local del campo.

Si tuviéramos ahora en el campo alguna variación periódica podríamos ver que$C$tendrá varios picos correspondientes a la autosimilitud de la imagen (o del campo) .

Entonces, analizar la correlación de una cantidad te dará información sobre qué tan rápido cambia y si es de alguna manera auto-similar.
Espero que no le importe que haya elegido una aplicación desde un punto de vista más práctico .

Sinceramente

Roberto

PS.: Se puede encontrar más en todos los trabajos muy ricos realizados por Goodman .

Excelente pregunta, Kostya. Lubos ya dio una respuesta detallada usando argumentos generales en el lenguaje de QFT.

En astrofísica y cosmología, sin embargo, hay otra razón, y muy simple, por la que usamos las funciones de correlación todo el tiempo. Resulta que el valor medio de la función$f(\vec{x})$, denotado$\langle f(\vec{x})\rangle$, a menudo no puede ser predicho por el modelo teórico (por ejemplo, el modelo Big Bang caliente con una etapa inflacionaria al principio, la materia oscura fría en los últimos tiempos, etc... o cualquier otro modelo que desee considerar) - mientras que su correlación$\langle f(\vec{x})f(\vec{y})\rangle$ se puede predecir. Aquí$f$puede referirse a cualquier cantidad cosmológica observable, y$\vec{x}$y$\vec{y}$referirse a las coordenadas espaciales.

El ejemplo más común sería considerar el exceso de densidad de la materia oscura,$f(\vec{x})\equiv \delta\rho(\vec{x})/\rho$, dónde$\rho$es la densidad media (unidades que son kilogramos por metro cúbico, por ejemplo) y$\delta\rho(\vec{x})$es el exceso de sobre o subdensidad en la ubicación$\vec{x}$, y sobre alguna región que no especificaré por simplicidad del argumento. Por definición, la media de$f$es cero, por lo que indicamos explícitamente que no estamos interesados ​​en la media (alternativamente, no podemos obtener fácilmente la densidad media del universo a partir de los primeros principios). Pero la función de correlación,$\langle \delta\rho(\vec{x})\delta\rho(\vec{y})/\rho^2\rangle$se puede relacionar con parámetros fundamentales del universo, en particular detalles de la época inflacionaria, la densidad de la materia oscura, etc. Los detalles de esto están involucrados y se enseñan en un curso de posgrado en cosmología. Baste decir que la teoría no predice la media de la función (función de correlación de 1 punto), sino sus (co)varianzas (función de correlación de 2 puntos).

Intuitivamente, la función de correlación de dos puntos de$\delta\rho/\rho$está relacionado con la "probabilidad de que, dada una región sobredensa de materia oscura en el lugar$\vec{x}$, hay una región sobredensa en la ubicación$\vec{y}$", y esta probabilidad está determinada por la buena y antigua ley de la gravedad, y puede predecirse a partir de los primeros principios.

La teoría también predice en principio los 3 puntos (p. ej.$\langle f(\vec{x})f(\vec{y})f(\vec{z})\rangle$, y funciones de correlación de puntos más altos, pero ambas son más difíciles de calcular teóricamente y de medir observacionalmente. Sin embargo, hay un subcampo próspero en la física de partículas y la cosmología de predecir teóricamente y medir observacionalmente, estas llamadas funciones de correlación de orden superior.

Un ingrediente final en todo esto es el papel de medir la función de correlación. El signo de promedio angular,$\langle\cdot\rangle$implica que deberíamos estar promediando sobre diferentes realizaciones del sistema, es decir, el universo, en el mismo modelo cosmológico subyacente . ¡Esto es claramente imposible, ya que solo tenemos un universo para medir! En cambio, asumimos la homogeneidad estadística (que es lo mismo que la invariancia traslacional de la publicación de Lubos). Entonces, en lugar de promediar los diferentes universos, los cosmólogos promedian$f(\vec{x})f(\vec{y})$en diferentes lugares ($\vec{x}, \vec{y}$) en nuestro universo que tienen una distancia fija entre los dos puntos$|\vec{x}-\vec{y}|$. De esta forma, utilizando el supuesto de homogeneidad estadística, podemos obtener buenas medidas de la función de correlación de cualquier cantidad que deseemos.

Hay otra razón, aunque no es intuitiva. Un proceso estocástico se caracteriza casi por completo por su función de autocorrelación. Más precisamente, si el proceso es estacionario (por supuesto, todos estos métodos solo funcionan después de que se haya eliminado la tendencia de un proceso y se hayan analizado y filtrado todos los ciclos primero) y gaussiano, y centrado, entonces está completamente caracterizado por la autocorrelación función. Esto es análogo al hecho elemental de que una variable aleatoria normal se caracteriza completamente por su media y su desviación estándar.

Pero espera. Hay más. Incluso si el proceso no es gaussiano, se caracteriza si conoce no solo la autocorrelación habitual, que también se denomina funciones de correlación de dos puntos, sino también si conoce todas las autocorrelaciones superiores. (es decir, tres puntos, cuatro puntos, etc.). Esto es análogo al (difícil) "problema de los momentos". resuelto por mi antepasado (doctorado académico en genealogía) Marcel Riesz y ese genio alcohólico de Suecia, Carlman, que dice que si conoces todos los momentos de una variable aleatoria, se determina hasta la equivalencia.

Y, en la práctica, son las correlaciones las más accesibles a la medición. La mayoría de los experimentos con partículas, incluidos los famosos experimentos de desigualdad de Bell de Aspect, son mediciones de correlaciones. Probablemente haya un profundo significado filosófico en esto...