¿Cómo derivo la función de Green para −∇2+m2−∇2+m2-\nabla^2 + m^2 en ddd dimensiones?

El primer paso es reconocer que la ecuación es invariante bajo$d$-rotaciones dimensionales alrededor$\mathbf{x} - \mathbf{x}' = \mathbf{0}$y traducciones idénticas simultáneas de$\mathbf{x}$y$\mathbf{x}'$, por lo que podemos hacer el siguiente paso:

$$\begin{align}(-\nabla_d^2 + m^2)G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') &= A \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \\ & \mathrm{let: }\ r \equiv |\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \Rightarrow \\ \frac{A}{\Omega_d r^{d-1}} \delta(r) &= - \frac{1}{r^{d-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^{d-1} \frac{\partial G(r)}{\partial r}\right] + m^2 G(r),\end{align}$$ donde el factor$\Omega_d r^{d-1}$proviene del elemento de volumen$\operatorname{d} V = \Omega_d r^{d-1} \operatorname{d}r$y las derivadas del lado derecho (rhs) son el término radial de$\nabla_d^2$en$d$Coordenadas esféricas -dimensionales ( enlace wiki ).

El siguiente paso es integrar ambos lados de la ecuación sobre un volumen esférico centrado en el origen con radio$r$, entonces tome el límite como$r \rightarrow 0$. Esto produce la condición de normalización para$G$:

$$\lim_{r\rightarrow 0} \left[r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\frac{A}{\Omega_d},$$ y maneja la parte de la ecuación donde la función delta es distinta de cero.

La región donde la función delta es cero, la región homogénea, se convierte en:

$$0 = \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} + \frac{d-1}{r} \frac{\partial G}{\partial r} - m^2 G.$$ La ecuación en la región homogénea se puede llevar a una forma más familiar mediante la sustitución de la función$G(r) = f(r) r^{-(d/2 - 1)}$donación: $$0 = r^2 \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + r \frac{\partial f}{\partial r} - \left(\frac{d}{2} - 1\right)^2 f - m^2 r^2 f.$$ La forma familiar de esta ecuación es la ecuación de Bessel modificada . La solución más general a esta ecuación es: $$f(r) = C K_{d/2-1}(mr) + D I_{d/2-1}(mr),$$ con$I_{d/2-1}$y$K_{d/2-1}$ funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase , respectivamente, y$C$y$D$constantes fijadas por las condiciones de contorno.

La condición de frontera en$r\rightarrow \infty$requiere$D=0$, dando la siguiente forma para$G$:

$$G(r) = \frac{C}{r^{d/2-1}} K_{d/2-1}(mr).$$ Conectando nuestra solución para$G$en el lado izquierdo (lhs) de la$r \rightarrow 0$la condición de contorno derivada de arriba da: $$\lim_{r\rightarrow0} \left[ r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\Gamma\left(\frac{d}{2}\right) 2^{d/2-1} m^{1-d/2} C,$$ después de la aplicación de la forma de límite de argumento pequeño de$K_\nu$. Esto implica que: $$\begin{align}C &= \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2-1}\Gamma(d/2) \Omega_d} \\ & = \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2} \pi^{d/2}},\end{align}$$ donde la forma explícita de$\Omega_d = S_{d-1}$ha sido insertado.

Finalmente, reemplazando$C$da:

$$G(r) = \frac{A}{(2\pi)^{d/2}} \left(\frac{m}{r}\right)^{d/2-1} K_{d/2-1}(mr).$$