¿Cómo mostrar que el producto de un tensor de Killing y un vector tangente se conserva a lo largo de una geodésica?

Consideremos un campo de exterminio$K_\mu$. Ahora el producto del campo Killing y el vector tangente es$Q_K = K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}$.

Ahora, a lo largo de una geodésica parametrizada por un parámetro afín$\lambda$,

$\dfrac{d}{d\lambda}Q_K = \dfrac{d}{d\lambda}\big(K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}\big)$

$=\dfrac{\partial K_\mu}{\partial x^\nu} \dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda} + K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_{\alpha;\nu}+K_\alpha \Gamma^\alpha _{\mu\nu}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda}+ K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_\mu \bigg(\dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu _{\alpha\nu}\dfrac{dx^\alpha}{d\lambda}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\bigg) = 0$

Entonces, la cantidad$Q_K$se conserva a lo largo de la geodésica.

Editar El hecho de que una cantidad conservada sea aparente a lo largo de la geodésica está bellamente relacionado con los teoremas de Noether como lo ilustra childofsaturn en esta respuesta .

Uno puede mostrar directamente que se conserva a lo largo de las geodésicas como lo ha hecho Dvij, pero también es esclarecedor notar que este es solo un caso especial del teorema de Noether. En particular, siempre que una métrica tenga una isometría generada por un campo vectorial$K^{a}$el lagrangiano$L = \frac{1}{2}g_{ab}\dot{x}^a \dot{x}^b$es invariante bajo la transformación$\delta x^{a} = \epsilon K^{a}$. Ahora recuerda que cuando un Lagrangiano es invariante bajo alguna transformación$\delta x$, la carga de Noether correspondiente es$J = \delta x \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$. Aquí esto simplemente se convierte$g_{ab}K^{a}\dot{x}^b.$