Duda sobre la derivación de la ecuación geodésica

Mi pregunta es bastante simple, pero tiene una acumulación molesta de antemano:

Introducción

Si uno quiere encontrar la ecuación geodésica comenzando por extremar el tiempo propio a lo largo de un camino, todo se reduce a encontrar los extremos de

$$\tau =\int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}} d\tau$$ Lo cual, como se muestra en el libro GR de Carroll, es equivalente a encontrar los extremos de $$I=\frac{1}{2}\int g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}d\tau$$ Ahora, lo que queremos es para la variación de esta integral, $\delta I$, para desaparecer. Encontrar $\delta I$, tenemos que variar cada parte individualmente: $$\delta I = \frac{1}{2}\int \delta (g_{\mu\nu})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})$$

Pregunta

En este punto de la derivación, intenté un atajo con el último término de la integral:

$$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\nu\mu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\nu\mu}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}$$

Usé el hecho de que$g$es simétrica (y la multiplicación es conmutativa :D). Intercambiando los índices de suma en la última expresión,$\mu\to\nu$, y$\nu\to\mu$(esto es válido ya que son solo índices ficticios; sus nombres no importan), tenemos:

$$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}$$

Afortunadamente, nuestra variación se vuelve un poco más simple:

$$\delta I = \frac{1}{2}\int \delta (g_{\mu\nu})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+2g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}$$

Sin embargo, cuando trabajo con esta variación (integrando por partes, haciendo todo el trabajo habitual), no llego a la ecuación geodésica correcta... Así que estoy un poco forzado a concluir que lo que hice es incorrecto. ¿Alguien puede ayudarme señalando dónde me equivoco en mi "atajo"? Gracias de antemano :)