Ecuaciones geodésicas a través del principio variacional

Tu acción es:

$$S[x] = -m\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} d\lambda$$ y hay que imponer$\delta S=0$con las restricciones$\delta x(\lambda_0) =\delta x(\lambda_1) =0$, eso significa que las curvas consideradas en el dominio de$S$tienen puntos finales fijos.

Computar$\delta S$tienes que reemplazar$x$para$x+ \epsilon \delta x$(entonces$\frac{dx}{d\lambda}$debe ser reemplazado por$\frac{dx}{d\lambda} + \epsilon\frac{d \delta x}{d\lambda}$) y finalmente calcular la derivada con respecto a$\epsilon$para$\epsilon=0$.

$$\delta S[x] = \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} S[x+ \epsilon \delta x]\:.$$

El cálculo conduce a (suponiendo que$g$y las curvas son$C^1$, estas curvas definidas en el compacto$[\lambda_0,\lambda_2]$uno puede intercambiar con seguridad el símbolo de integral con el de$\epsilon$derivada, esencialmente por un conocido teorema de Lebesgue)

$$\delta S[x] = -\frac{m}{2}\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\frac{- \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \delta x^\delta \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} - 2g_{\alpha\beta} \frac{d \delta x^\alpha}{d\lambda}\frac{d x^\beta}{d\lambda}}{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda\:.$$ Darse cuenta de$x$aparece en$g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x)$, también, y da lugar a la contribución$\frac{\partial g_{\mu\nu}(x)}{\partial x^\sigma}\delta x^\sigma$mencionaste en tu pregunta.

El denominador en la integral no desaparece cuando variamos nuestra curva en la clase de curvas temporales que unen los dos puntos finales fijos.

Integrando por partes se obtiene:

$$\frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda -\int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \delta x^\alpha\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\alpha\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda + [...]\delta x^\alpha(\lambda_1)-[...]\delta x^\alpha(\lambda_0)\:.$$ Los dos últimos términos pueden eliminarse ya que desaparecen por hipótesis. Cambiando el nombre de algunos índices sumados terminamos con:

$$\frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\left[\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} \right]d\lambda\:.$$ Dado que el LHS desaparece para cada elección de la variación$\delta x^\delta(\lambda)$, concluimos que$\delta S[x]=0$en una curva$x=x(\lambda)$es equivalente al requisito de que dicha curva verifique: $$\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} =0\:.\quad (1)$$ Podemos cambiar el parámetro y usar el tiempo adecuado.$d\tau$de modo que: $$d\lambda \sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} = d\tau$$ y (1) se convierte en: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} -\frac{d}{d \tau}g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.\quad (2)\:.$$ Expandiendo la última derivada cambiando el nombre de$\beta$a$\mu$en el último término: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} - \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} -g_{\delta\mu} \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} =0\:.\quad \:.$$ En otras palabras: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} - g^{\delta\mu} \frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} + g^{\delta\mu} \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Cambiar el nombre de algunos índices: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(2\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Finalmente, explotando$g_{\delta \beta}= g_{\beta\delta}$: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Ahora observe que: $$\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} = \frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau}\frac{d x^\sigma}{d\tau}=\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau}$$ por lo que la identidad encontrada se puede reescribir como: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Hemos encontrado: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\sigma_\beta}\frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:,$$ como se desea

Hay dos definiciones de geodésicas aquí.

1. localmente distancia minimizando curvas Minimizas la acción, como lo hiciste,

   $$\begin{equation} S(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} } dt = \int_a^b L dt \end{equation}$$ La ecuación de Euler Lagrangiana asociada con esta acción es $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu}= 0 \end{equation}$$

2. curvas en las que el vector tangente se transporta en paralelo. Minimizas la acción,

   $$\begin{equation} E(\gamma) = \int_a^b \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} dt = \int_a^b \frac{1}{2}L^2 dt \end{equation}$$ a través de la ecuación de Euler Lagrangiana $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = -\frac{1}{L}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} \frac{d}{dt}L \end{equation}$$ y obtener la solución (después de un poco de álgebra) $$\begin{equation} \ddot{x}^{\lambda} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = 0 \end{equation}$$ Esta curva transporta paralelamente el vector tangente.

Nos damos cuenta

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = 0\\ \frac{d}{dt}L = 0 \end{eqnarray}$$ resuelve las ecuaciones de Euler-Lagrangian en ambos casos. $\frac{d}{dt}L$solo corrige la parametrización. Para una variedad de Riemann, el parámetro difiere en la longitud de la curva por una transformación afín $$\begin{equation} S(\gamma_{sol}(t)) = \int_a^t L(\gamma_{sol}(\tau) d\tau = (t-a) L(\gamma_{sol}(t=0) ) \end{equation}$$ es por eso que algunos libros de texto directamente la longitud (o el tiempo adecuado) como parámetro en primer lugar.

La segunda definición a veces se llama geodésicas afines . Mientras que en GR, en la mayoría de los casos estamos hablando de geodésicas afines, que es una curva de minimización local más una parametrización afín.