Pregunta de Schutz

La derivada covariante es compatible con la métrica, por lo que$\nabla_{\alpha} g_{\beta \gamma} = 0$. Esta es la condición de que el producto interno se conserve bajo transporte paralelo.

No creo que necesite compatibilidad métrica para probar esto, aunque puede usarlo. Hay una manera mucho más simple con el uso repetido de (cualquier) métrica para bajar el índice.

$U^\alpha\nabla_\alpha V^\beta=W^\beta$

$\Rightarrow U^\alpha g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g^{\beta\gamma}V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha\delta_\mu^\gamma\nabla_\alpha V_\gamma=\delta_\mu^\gamma V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha\nabla_\alpha V_\mu=V_\mu$

hay tres formas de hacer el primer paso, solo una usa la compatibilidad métrica. Más en https://www.general-relativity.net/2019/10/symmetries-and-killing-vectors.html