Cálculo de los símbolos de Christoffel con la ecuación geodésica

Me gustaría calcular los símbolos de Christoffel del segundo tipo usando la ecuación geodésica. Para practicar, he probado el Schwarzschild Ansatz

$$g_{00} = \mathrm e^\nu,\quad g_{11} = - \mathrm e^\lambda,\quad g_{22} = -r^2,\quad g_{33} = -r^2 \sin(\theta)^2,$$ dónde $\nu$y $\lambda$son funciones de $r$.

El lagrangiano es

$$L = \mathrm e^\nu \dot t^2 - \mathrm e^\lambda \dot r^2 - r^2 \dot \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 \dot \phi^2.$$

A partir de esto, he calculado para las ecuaciones de Euler Lagrange:

$$0 = 2 \mathrm e^\nu \ddot t$$ $$\mathrm e^\nu \nu' \dot t^2 - \mathrm e^\lambda \lambda' \dot r^2 - 2 r \dot \theta^2 - 2 r \sin(\theta)^2 \dot\phi^2 = -2 \mathrm e^\lambda \ddot r$$ $$- 2 r^2 \sin(\theta) \cos(\theta) \dot \phi^2 = - 2r^2 \ddot \theta$$ $$0 = - 2 r^2 \sin(\theta)^2 \ddot \phi$$

Con el segundo obtuve:

$$\Gamma^1_{00} = \frac{\nu'}2 \mathrm e^{\nu-\lambda}, \quad \Gamma^1_{11} = - \frac{\lambda'}2, \quad \Gamma^1_{22} = - r \mathrm e^{-\lambda}, \quad \Gamma^1_{33} = - r\sin(\theta)^2 \mathrm e^{-\lambda}$$

Y el tercero:

$$\Gamma^2_{33} = - \sin(\theta)\cos(\theta)$$

De la primera y cuarta ecuación deduciría que cualquier$\Gamma^0_{\mu\nu} = 0$así como$\Gamma^3_{\mu\nu} = 0$. La solución dice que este no es el caso. ¿Cómo puedo obtener los otros símbolos de Christoffel distintos de cero?