Ecuaciones geodésicas

Question

Ecuaciones geodésicas

valor

Tengo problemas para entender cómo es cierta la siguiente declaración (tomada de algunas notas antiguas):

Para un espacio bidimensional tal que
$d s^{2} = \frac{1}{{tu}^{2}} (- d {tu}^{2} + d v^{2})$ $ds^2=\frac{1}{u^2}(-du^2+dv^2)$ las geodésicas temporales están dadas por ${tu}^{2} = v^{2} + a v + b$ $u^2=v^2+av+b$ dónde $a,b$ son constantes.

Cuando veo "geodésicas", salto a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Ellos me dan

\frac{d}{d λ} (- 2 \frac{\dot{tu}}{{tu}^{2}}) = (- {\dot{tu}}^{2} + {\dot{v}}^{2}) (- \frac{2}{{tu}^{3}}) ⟹ \frac{\ddot{tu}}{{tu}^{2}} - 2 \frac{{\dot{tu}}^{2}}{{tu}^{3}} = \frac{1}{{tu}^{3}} (- {\dot{tu}}^{2} + {\dot{v}}^{2}) ⟹ tu \ddot{tu} - {\dot{tu}}^{2} - {\dot{v}}^{2} = 0

$\frac{d}{d\lambda}(-2\frac{\dot u}{u^2})=(-\dot u^2+\dot v^2)(-\frac{2}{u^3})\\ \implies \frac{\ddot u}{u^2}-2\frac{\dot u^2}{u^3}=\frac{1}{u^3}(-\dot u^2+\dot v^2)\\ \implies u\ddot u-\dot u^2-\dot v^2=0$ y

\frac{d}{d λ} (2 \frac{\dot{v}}{{tu}^{2}}) = 0 ⟹ \dot{v} = C {tu}^{2}

$\frac{d}{d\lambda}(2\frac{\dot v}{u^2})=0\\ \implies \dot v=cu^2$ dónde

c

$c$ es una constante.

Temporal implica

{\dot{X}}^{a} {\dot{X}}_{a} = - 1

$\dot x^a\dot x_a=-1$ donde he adoptado el

(- + + +)

$(-+++)$ firma.

No puedo por mi vida ver cómo la declaración resulta de esto. ¿A alguien le importaría explicar? Gracias.

mufrido

¿Por qué eligió las ecuaciones de Euler-Lagrange en lugar de, digamos, la ecuación geodésica de la relatividad general?

valor

@Muphrid: Debido a que la ecuación geodésica para GR se deriva de las ecuaciones EL, entonces básicamente uso lo mismo. Solo que las ecuaciones EL son más convenientes, en mi opinión, porque no tengo que calcular los símbolos de Christoffel primero y luego...

Respuestas (2)

Ecuaciones geodésicas

¿Por qué eligió las ecuaciones de Euler-Lagrange en lugar de, digamos, la ecuación geodésica de la relatividad general?
@Muphrid: Debido a que la ecuación geodésica para GR se deriva de las ecuaciones EL, entonces básicamente uso lo mismo. Solo que las ecuaciones EL son más convenientes, en mi opinión, porque no tengo que calcular los símbolos de Christoffel primero y luego...

joshfísica · Answer 1

Prefiero usar vectores Killing y leyes de conservación para resolver cosas como esta, así que analicemos el problema usando vectores Killing y veamos si los resultados concuerdan con sus ecuaciones de Euler-Lagrange.

Note que la métrica es invariante bajo traslaciones de $v$ . El vector asesino asociado es $\partial_v$ que a su vez da la siguiente cantidad conservada:

C_{v} = \dot{X} \cdot \partial_{v} = \frac{\dot{v}}{{tu}^{2}}

$c_v = \dot x\cdot \partial_v = \frac{\dot v}{u^2}$ Esto concuerda precisamente con su segunda ecuación de Euler-Lagrange; Hasta ahora, todo bien. La condición temporal

\dot{x} \cdot \dot{x} = - 1

$\dot x\cdot\dot x = -1$ se puede escribir en componentes como

\frac{- {\dot{tu}}^{2} + {\dot{v}}^{2}}{{tu}^{2}} = - 1

$\frac{-\dot u^2 + \dot v^2}{u^2} = -1$ Usando la ecuación de conservación anterior para eliminar

\dot{v}

$\dot v$ luego da una ecuación diferencial de primer orden para

\dot{u}

$\dot u$

\frac{- {\dot{tu}}^{2} + C_{v}^{2} {tu}^{4}}{{tu}^{2}} = - 1

$\frac{-\dot u^2+c_v^2u^4}{u^2}=-1$ que simplifica a

{\dot{tu}}^{2} = C_{v}^{2} {tu}^{4} + {tu}^{2}

$\dot u^2 = c_v^2u^4 + u^2$ Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden que se puede resolver por separación de variables e integración. Una vez que resuelvas esto para

u

$u$ , puede reemplazar la solución en la ecuación de conservación

c_{v} = \dot{v} / u^{2}

$c_v = \dot v/u^2$ y resolver esta ecuación por integración también. Esto produce la solución general al sistema de ecuaciones diferenciales, y luego se puede relacionar

u

$u$ y

v

$v$ en la forma indicada en la cotización.

Advertencia; puede haber formas más sencillas de mostrar lo que quieres mostrar.

qmecanico · Answer 2

Método 1: diferenciación implícita sin resolver ODE explícitamente:

\frac{d ({tu}^{2})}{d v} = \frac{1}{\dot{v}} \frac{d ({tu}^{2})}{d t} = \frac{2 tu \dot{tu}}{\dot{v}} = \frac{2 \dot{tu}}{C tu}

$\frac{d(u^2)}{dv}~=~\frac{1}{\dot{v}} \frac{d(u^2)}{dt}~=~\frac{2u\dot{u}}{\dot{v}}~=~\frac{2\dot{u}}{cu}$

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$\Downarrow$

\frac{d^{2} ({tu}^{2})}{d v^{2}} = \frac{1}{\dot{v}} \frac{d}{d t} (\frac{2 \dot{tu}}{C tu}) = \frac{2}{\dot{v}} \frac{\ddot{tu} tu - {\dot{tu}}^{2}}{C {tu}^{2}} = \frac{2}{\dot{v}} \frac{{\dot{v}}^{2}}{C {tu}^{2}} = 2,

$\frac{d^2(u^2)}{dv^2}~=~\frac{1}{\dot{v}} \frac{d}{dt}\left(\frac{2\dot{u}}{cu} \right)~=~\frac{2}{\dot{v}} \frac{\ddot{u}u-\dot{u}^2}{cu^2}=\frac{2}{\dot{v}} \frac{\dot{v}^2}{cu^2} ~=~2,$

lo que a su vez implica la ecuación buscada de OP. Arriba solo hemos usado las dos ecuaciones de Euler-Lagrange $\ddot{u}u=\dot{u}^2+\dot{v}^2$ y $\dot{v}=cu^2$ .

Método 2: resolución explícita de ODE:

Reescalar las variables como

tu := C tu, V := C v .

$U~:=~cu, \qquad V~:=~cv.$

Entonces las dos ecuaciones $\dot u^2 = c^2u^4 + u^2$ y $\dot{v}=cu^2$ convertirse

{\dot{tu}}^{2} = {tu}^{4} + {tu}^{2}, \dot{V} = {tu}^{2},

$\dot{U}^2 ~=~U^4+U^2, \qquad \dot{V}~=~U^2 ,$

con solución completa

tu (t) = \pm C s C h (t - t_{0}), V (t) = bata (t - t_{0}) + V_{0} .

$U(t)~=~\pm {\rm csch}(t-t_0), \qquad V(t)~=~\coth(t-t_0)+V_0.$

La ecuación buscada de OP ahora se sigue de

(V - V_{0})^{2} = {tu}^{2} + 1.

$(V-V_0)^2 ~=~ U^2 +1.$

Ecuaciones geodésicas

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mufrido

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