¿Por qué esta métrica no cubre todo el espacio de De Sitter?

Question

¿Por qué esta métrica no cubre todo el espacio de De Sitter?

dannygoldstein

Estoy trabajando en un problema de Spacetime and Geometry de Carroll . Supuestamente debería poder usar la ecuación geodésica

\frac{d^{2} X^{m}}{d λ^{2}} + Γ_{ρ σ}^{m} \frac{d X^{σ}}{d λ} \frac{d X^{ρ}}{d λ} = 0

$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=0$ para mostrar que la métrica plana de De Sitter

d s^{2} = - d t^{2} + {mi}^{2 H t} [d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}]

$ds^2=-dt^2+e^{2Ht}[dx^2 + dy^2 + dz^2]$

no logra cubrir toda la variedad conocida como espacio de De Sitter. Me insta a combinar estas dos ecuaciones para resolver el parámetro afín $\lambda$ como una función de $t$ , y luego demuestre que las geodésicas del espacio alcanzan $t=-\infty$ en un valor finito del parámetro afín, demostrando lo que buscaba probar. Empiezo por parametrizar la métrica en términos del tiempo adecuado, $\tau$ $(\lambda = \tau)$ , para producir:

- 1 = - \frac{d t^{2}}{d λ^{2}} + {mi}^{2 H t} [\frac{d X^{2}}{d λ^{2}} + \frac{d y^{2}}{d λ^{2}} + \frac{d z^{2}}{d λ^{2}}]

$-1 =-\frac{dt^2}{d\lambda^2}+e^{2Ht}[\frac{dx^2}{d\lambda^2} + \frac{dy^2}{d\lambda^2} + \frac{dz^2}{d\lambda^2}]$

Y de la ecuación geodésica, derivo:

\frac{d^{2} X^{i}}{d λ^{2}} = - 2 H (\frac{d t}{d λ}) (\frac{d X^{i}}{d λ})

$\frac{d^2 x^i}{d\lambda^2} = -2H\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)\left(\frac{dx^i}{d\lambda}\right)$

Para resolver cualquiera de estas tres ecuaciones, digamos, por ejemplo, la primera, hago la sustitución:

v = \frac{d X}{d λ}, t^{'} = \frac{d t}{d λ}

$\nu = \frac{dx}{d\lambda}, t'=\frac{dt}{d\lambda}$

entonces

v^{'} = - 2 H v t^{'} v^{'} / t^{'} = \frac{d v}{d λ} \frac{d λ}{d t} = - 2 H v = \frac{d v}{d t} \frac{d v}{d t} = - 2 H v \Rightarrow v = C_{1} {mi}^{- 2 H t}

$\nu'=-2H\nu t'\\\nu'/t'=\frac{d\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt}=-2H\nu=\frac{d\nu}{dt}\\\frac{d\nu}{dt}=-2H\nu\Rightarrow\nu = C_1e^{-2Ht}$

Sustituyendo de nuevo en la métrica, me queda:

1 = {(\frac{d t}{d λ})}^{2} - {mi}^{2 H t} (\sum_{i} C_{i}^{2} {mi}^{- 4 H t})

$1 = \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - e^{2Ht}\left(\sum_i C_i^2 e^{-4Ht}\right)$

Definir $\sum_i C_i^2 = \alpha$ , dando:

\frac{d t}{d λ} = \sqrt{1 + α {mi}^{- 2 H t}}

$\frac{dt}{d\lambda} = \sqrt{1 + \alpha e^{-2Ht}}$

Parece que no puedo encontrar una buena solución analítica para $\lambda(t)$ eso demuestra que $t \rightarrow -\infty$ en un valor finito del parámetro afín sin depender de una computadora, y esto no me deja con ninguna buena intuición física (o matemática) de lo que está pasando en el problema. ¿He cometido un error en alguna parte, o es esto, como diría Walter Cronkite (y mi profesor de GR), "así es"? ¿Alguien puede indicarme la dirección correcta o mostrarme cómo proceder? Gracias de antemano.

Miguel

Solo mirando su última ecuación (no he verificado la derivación): en el

t \to - \infty

$t\to -\infty$ limite los dominios exponenciales y puede simplificar la raíz cuadrada y luego separar las variables.

qmecanico

¿Qué ejercicio?

Respuestas (1)

¿Por qué esta métrica no cubre todo el espacio de De Sitter?

Solo mirando su última ecuación (no he verificado la derivación): en el $t\to -\infty$ limite los dominios exponenciales y puede simplificar la raíz cuadrada y luego separar las variables.

danu · Answer 1

Consideramos la métrica

d s^{2} = - d t^{2} + a^{2} (t) d {\vec{X}}^{2}

$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}t^2+a^2(t)\mathrm{d}\vec x^2$

dónde $a(t):= a_0e^{Ht}$ . Para mostrar que estas coordenadas no cubren toda la variedad de espacio-tiempo, consideramos la trayectoria de un observador en caída libre, que por supuesto extrema el tiempo propio

τ = \int d t \sqrt{1 - a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}}

$\tau=\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}$ Realizar la variación es bastante sencillo. Después de aplicar la regla de la cadena varias veces, obtenemos:

\frac{d τ [\vec{X} (t)]}{d \vec{X} (t)} = 0 ⟹ - \frac{d}{d t} \frac{a^{2} \dot{\vec{X}}}{\sqrt{1 - a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}}} =: - \frac{d}{d t} \vec{pag} = 0

$\frac{\delta \tau[\vec x(t)]}{\delta \vec x(t)}=0\implies -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{a^2\dot{\vec x}}{\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}}=:-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec p=0$ donde ahora hemos introducido el impulso (por unidad de masa)

\vec{p}

$\vec p$ . Tenga en cuenta que esto tiene sentido, porque un observador en caída libre no experimenta fuerzas, por lo tanto, el impulso debe ser constante. De nuestra definición del impulso derivamos la identidad útil

\frac{a^{4} \dot{{\vec{X}}^{2}}}{1 - a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}} = {\vec{pag}}^{2} ⟹ {\vec{pag}}^{2} + a^{2} = \frac{a^{2}}{1 - a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}} ⟹ \frac{{\vec{pag}}^{2} + a^{2}}{{\vec{pag}}^{2}} = \frac{1}{a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}}

$\frac{a^4\dot{\vec x^2}}{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\vec p^2\implies \vec p^2+a^2=\frac{a^2}{1-a^2\dot{\vec x^2}} \implies \frac{\vec p^2+a^2}{\vec p^2}=\frac{1}{a^2\dot{\vec x^2}}$ Ahora, consideramos con una velocidad distinta de cero en

t = 0

$t=0$ , es decir

\dot{\vec{x}} \neq 0

$\dot{\vec x}\neq 0$ de modo que

| p | \neq 0

$|p|\neq 0$ , y evaluamos explícitamente el tiempo adecuado transcurrido entre

t = - \infty

$t=-\infty$ y

t = 0

$t=0$ . Cede

τ_{0} = \int_{- \infty}^{0} \int d t \sqrt{1 - a^{2} \dot{{\vec{X}}^{2}}} = \int_{- \infty}^{0} d t \frac{a (t)}{\sqrt{{\vec{pag}}^{2} + a^{2} (t)}}

$\tau_0=\int_{-\infty}^0\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\int_{-\infty}^0\mathrm{d}t\frac{a(t)}{\sqrt{\vec p^2+a^2(t)}}$ Usando---una vez más---la regla de la cadena, podemos cambiar a una integral sobre

a (t)

$a(t)$ , que es factible con el tipo "habitual" de cambio de variables que involucran funciones trigonométricas inversas. Esto se deja como ejercicio (en parte para evitar que los estudiantes perezosos abusen de esta respuesta), y solo citamos el resultado:

τ_{0} = H^{- 1} {pecado}^{- 1} \frac{1}{| \vec{pag} |}

$\tau_0=H^{-1}\sinh^{-1}\frac{1}{|\vec p| }$ que obviamente es finito para momentos distintos de cero (el caso de momento cero que produce infinito también es físicamente muy razonable: ¡si te quedas quieto, nunca llegarás al borde!). Así, un observador viene "desde el infinito" en un tiempo propio finito. Esto no puede ser cierto, a menos que las coordenadas no cubran toda la variedad, como se suponía que debíamos mostrar.

¿Por qué esta métrica no cubre todo el espacio de De Sitter?

dannygoldstein

Miguel

qmecanico

Respuestas (1)

danu

Derivación de la ecuación de desviación geodésica de dos geodésicas vecinas

¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

Cálculo de los símbolos de Christoffel con la ecuación geodésica

Ecuaciones geodésicas a través del principio variacional

¿Cuál es la definición de incompletitud de un sistema de coordenadas y un espacio-tiempo?

Ecuación geodésica de Euler - Lagrange

Ecuaciones geodésicas

Duda sobre la derivación de la ecuación geodésica

Definición abstracta de puntos conjugados

Solución a Geodésicas en 2 esferas