Ecuación geodésica de Euler - Lagrange

Primero hagamos el RHS. Esto solo nos da una derivada en la métrica:

$$\frac{\partial L}{\partial x^\lambda}=\frac{1}{2}\partial_\lambda g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ La primera derivada en LHS es esencialmente una derivada de un cuadrado, por lo tanto $$\frac{\partial L}{\partial \dot x^\lambda}=g_{\mu\lambda}(x(\lambda))\dot x^\mu$$ donde hemos hecho la dependencia de $g$en $\lambda$claro para el siguiente paso. Ahora diferenciamos con respecto al parámetro de la curva: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}[g_{\mu\lambda}(x(\lambda))\dot x^\mu]=\partial_\nu g_{\mu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu=\frac{1}{2}\partial_\nu g_{\mu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu g_{\nu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu$$ donde en el último paso separamos el primer término y reorganizamos los índices. Poniendo todo junto, obtenemos $$g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu=-\frac{1}{2}\left(\partial_\nu g_{\mu\lambda}+\partial_\mu g_{\nu\lambda}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\right)\dot x^\mu\dot x^\nu=-\Gamma_{\lambda\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ donde en el último paso usamos la definición de los símbolos de Christoffel con tres índices inferiores. Ahora contrate con la métrica inversa para elevar el primer índice y cancelar la métrica en el LHS. Obtenemos $$\ddot x^\lambda=-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ como se iba a demostrar.

Aquí hay una forma de derivar las ecuaciones geodésicas de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Primero considere un sistema Lagrangiano natural$(M,L)$, dónde$L\in C^\infty(TM)$. Dejar$g$sea ​​una métrica riemanniana. Supongamos que en nuestro sistema mecánico la fuerza neta es cero. Es decir, el Lagrangiano es igual a la energía cinética,

$$L(p,V_p)=\frac{1}{2}mg_p(V_p,V_p)$$ En particular, si $\gamma:[a,b]\to M$representa una partícula de masa $m$entonces su energía cinética es $\frac{1}{2}mg_{\gamma(t)}(\gamma^\prime(t),\gamma^\prime(t))$. Las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen encontrando los puntos críticos de la acción $$\mathcal A(\gamma)=\int_{\gamma(t)}g_{\gamma(t)}(\gamma^\prime(t),\gamma^\prime(t))dt.$$ Un hecho estándar de la geometría de Riemann es que los puntos críticos de este funcional (el funcional de longitud) son geodésicas.

Ahora volvamos a su pregunta de derivar la ecuación geodésica de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Creo que esto funciona, aunque puede que no sea la idea que tenías en mente.

Considere la configuración anterior, un sistema Lagrangiano$(M,L)$dónde$(M,g)$es una variedad de Riemann. Dejar$(x^1,\dots,x^n)$denota un gráfico de coordenadas en$M$. Dejar$(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n)$y$(x^1,\dots,x^n,\xi_1,\dots,\xi_n)$denote los gráficos inducidos en$TM$y$T^\ast M$respectivamente. En estas coordenadas,$L=K=\frac{1}{2}mg_{ij}v^iv^j\in C^\infty(TM)$. Usando la transformada de Legendre podemos considerar el sistema hamiltoniano$(T^\ast M,H)$dónde$H=\frac{\partial L}{\partial v^i}$es el hamiltoniano inducido. En coordenadas, esto significa$H=\frac{1}{2}g^{ij}\xi_i\xi_j$dónde$g^{ij}$es la matriz inversa de$g_{ij}$. Dejar$\gamma(t)=(x(t),\xi(t))$ser una curva en$T^\ast M$. Para satisfacer las ecuaciones de Hamilton, necesitas que

$$\dot x^k=\frac{\partial H}{\partial \xi_k} \ \ \ \text{ and } \ \ \ \dot\xi_k=-\frac{\partial H}{\partial x^k}.$$ Puedes comprobar eso $\frac{\partial H}{\partial\xi_k}=g^{kj}\xi_j$y $-\frac{\partial H}{\partial x^k}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}\xi_i\xi_j$. Usando esto y el hecho de que $\xi_k=g_{ak}\dot x^a$, podemos sustituir esto en la segunda de las ecuaciones de Hamilton para obtener que $$\dot\xi_k=\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^q}\dot x^a\dot x^q+g_{ak}\ddot x^a=-\frac{1}{2}\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}g_{ia}g_{jp}\dot x^a\dot x^p$$ Desde $-\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}g_{ia}g_{jp}=\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}$, la ecuación anterior se convierte en $$\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^q}\dot x^a\dot x^q+g_{ak}\ddot x^a=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}\dot x^a\dot x^p.$$ Reordenando y simplificando, vemos que $\gamma(t)$satisface las ecuaciones de Hamilton si y solo si $$\ddot x^b=-\frac{1}{2}g^{kb}\left(\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^p}\dot x^a\dot x^p+\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^a}\dot x^a\dot x^p-\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}\dot x^a\dot x^p\right).$$ Esta es precisamente la ecuación geodésica. Su afirmación ahora se deriva del hecho de que los movimientos en el sistema Lagrangiano $(M,L)$(es decir, curvas que satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange) están en correspondencia con los movimientos en el sistema hamiltoniano $(T^\ast M,H)$(es decir, curvas que satisfacen las ecuaciones de Hamilton).

También debo señalar que esta última ecuación es la línea final de la prueba del enlace en los comentarios, una vez que recuerde la definición de los símbolos de Christoffel.