¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

Question

¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

GBD

La siguiente métrica se consideró en [ Perspectiva del espacio-tiempo de la lente de Schwarzschild ]

$ds^{2}=2f du^{2}-\frac{2}{l^{2}} du dl-\frac{1}{2l^{2}}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\, d\phi^{2})$

Los autores dieron geodésicas nulas para esta métrica como

dónde $A,B,C$ son tres primeras integrales de las geodésicas nulas.

No estoy seguro de cómo los autores obtuvieron las ecuaciones anteriores porque, por lo que entiendo, las geodésicas nulas están dadas por la ecuación $g_{\mu\nu}\frac{dx_{\mu}}{dt}\frac{dx_{\nu}}{dt}=0$ pero no puedo ver cómo uno puede obtener las ecuaciones anteriores de esto.

¿Alguien sabe cómo los autores obtuvieron las ecuaciones anteriores?

danu

Escriba las ecuaciones en lugar de usar imágenes. Está claro que ya sabe cómo usar MathJax, así que hágalo de manera constante.

GBD

@Danu, solo estoy tratando de mostrar exactamente cómo los autores presentaron las ecuaciones.

danu

Yo sé eso; Solo digo que debes escribir todas tus ecuaciones;)

Respuestas (1)

¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

Escriba las ecuaciones en lugar de usar imágenes. Está claro que ya sabe cómo usar MathJax, así que hágalo de manera constante.
@Danu, solo estoy tratando de mostrar exactamente cómo los autores presentaron las ecuaciones.
Yo sé eso; Solo digo que debes escribir todas tus ecuaciones;)

danu · Answer 1

La ecuación que enumeras

{gramo}_{m v} \partial_{τ} X^{m} \partial_{τ} X^{v} = 0

$g_{\mu\nu}\partial_\tau x^\mu\partial_\tau x^\nu=0$ se satisface con todas las trayectorias nulas. Sin embargo, una geodésica nula también debe satisfacer la ecuación geodésica

\partial_{τ}^{2} X^{m} + Γ_{v ρ}^{m} \partial_{τ} X^{v} \partial_{τ} X^{ρ} = 0

$\partial^2_\tau x^\mu +\Gamma^\mu_{\nu\rho}\partial_\tau x^\nu\partial_\tau x^\rho=0$ Estas dos ecuaciones, tomadas juntas, deberían ser suficientes para determinar las geodésicas nulas. El

Γ

$\Gamma$ los símbolos son, en principio, fáciles de calcular, ya sea a mano o usando algún programa de álgebra de computadora.

Dado que los resultados en el artículo están dados por ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que la ecuación geodésica es de segundo orden, uno tiene que integrar una vez (esto explica la presencia de las constantes de integración $A,B,C$ ).

¿Cómo funciona esto para el espacio de Miknowski? $\ddot{x}^{\mu}$ llevaría, en 1+1 dimensiones a, digamos $x=m+m'\sigma$ y $t=l+l'\sigma$ , donde sigma es el parámetro afín. Pero, ¿cómo encaja esto con $g_{\mu,\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$ . Calculando las derivadas, obtengo ${l'}^2-{m'}^2=0$ , que interpreto como una condición.
@AlexanderCska La condición implica $l' = \pm m'$ . Lo que entonces simplemente implica $x = \pm t + a$ es decir, partícula que se mueve a la velocidad de la luz.

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danu

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danu

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