Derivación de la ecuación de desviación geodésica de dos geodésicas vecinas

Estoy atascado tratando de seguir la derivación de Foster y Nightingale de la ecuación geodésica de dos geodésicas vecinas$x^{a}\left(u\right)$y$\tilde{x}^{a}\left(u\right)$unidos por un vector conector$\xi\left(u\right)$. Mi problema puede ser que no estoy seguro de qué significa "primer orden" en el contexto de esta derivación. Y allí de nuevo puede que no.

Lo sabemos

$$\tilde{x}^{a}=x^{a}+\xi^{a}.$$ Y, a primer orden $$\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}=\Gamma_{bc}^{a}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}.$$

Las dos ecuaciones geodésicas son:

$$\frac{d^{2}\tilde{x}^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}=0$$

y

$$\frac{d^{2}x^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$$

Resta la segunda ecuación geodésica de la primera ecuación geodésica para obtener

$$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}-\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$$ Sustituyendo las ecuaciones anteriores por $\tilde{x}^{a}$y $\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}$en esto y termino con

$$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$$ Esto es correcto, pero solo si puedo omitir los dos últimos términos $\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}\right)$y $\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}\right).$Foster y Nightingale dicen que “sólo de primer orden [en $\xi^{a}$] se han mantenido los términos”. Pero, ¿por qué estos dos términos son de segundo orden? Hace $\xi^{d}\frac{d\xi^{c}}{du}$cuenta como un término de segundo orden en $\xi^{a}$? Gracias