Estoy un poco confundido sobre cómo GTR usa la curvatura intrínseca en lugar de la curvatura extrínseca. Tal vez sea solo un malentendido, pero haré todo lo posible para describir mi pregunta:
Si tomamos un objeto de dimensiones y queremos doblarlo, necesitamos dimensiones. Esto se puede ver si tomamos una hoja de papel (que simplificamos a 2 dimensiones): ¡Si queremos doblarla, se necesitan 3 dimensiones!
De manera similar, en 3 dimensiones, solo podemos doblar un Cubo tridimensional en 3 dimensiones:
Entonces, según tengo entendido, necesitaríamos 4 dimensiones para doblar un objeto tridimensional o espacio-tiempo (en este caso, se necesitaría una cuarta dimensión espacial además de las 3 dimensiones de espacio y 1 de tiempo del espacio-tiempo, por lo que 5 dimensiones en total) .
Sin embargo, a menudo he leído que la Relatividad General no usa una quinta dimensión y en su lugar usa la curvatura intrínseca. ¿Cómo se compara esto con la necesidad (¿aparente?) de tener dimensiones para doblar algo de ¿dimensiones?
En esta respuesta , el usuario escribió
La curvatura intrínseca y extrínseca están conectadas porque ambas hacen las mismas predicciones. La forma en que haces los cálculos es un poco diferente.
¿Significa esto que la curvatura intrínseca/extrínseca solo está relacionada con el proceso matemático? ¿O también se refieren a la realidad?
A pesar de que GTR hace predicciones precisas sin usar dimensiones superiores para incrustar nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones, ¿hay alguna evidencia de que el espacio-tiempo debe existir en una dimensión superior, ya que esta es la única forma posible de doblarlo en forma no tridimensional ?
Como todavía estoy en la escuela, preferiría una respuesta no matemática, pero si esto no es posible, haré todo lo posible para resolver las matemáticas.
Preguntas relacionadas:
¿Qué es la curvatura intrínseca? Esta pregunta se centra en qué es la curvatura intrínseca (como dice el título). Sin embargo, mi pregunta se centra más en por qué es posible la curvatura intrínseca en primer lugar.
Respuestas en ¿La forma del Universo se refiere a la curvatura del espacio-tiempo en un espacio de 5 dimensiones? Las respuestas aclaran que no es necesario usar más de cuatro dimensiones, pero no dicen cómo es posible doblar el espacio-tiempo si no hay una dimensión superior.
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Las respuestas hasta ahora son excelentes y me ayudaron mucho a comprender la curvatura intrínseca y extrínseca. Sin embargo, todavía no entiendo por qué no se necesita una dimensión adicional para la curvatura intrínseca. De acuerdo con las respuestas, la curvatura extrínseca no se nota desde la brana que está curvada (como el papel doblado en mi primera imagen: la suma de los ángulos sigue siendo 180 ° para cada triángulo en el plano).
Entonces, para la curvatura intrínseca, debemos doblar el papel de manera que pueda ser medido por seres 2d hipotéticos que viven en el papel, esto significa que el papel debe curvarse de manera que la suma de los ángulos no sume 180 °. .
Esto podría lograrse doblando el papel de una manera que se usa comúnmente en la "analogía de la hoja de goma doblada". Sin embargo, esto requiere una dimensión adicional.
Entonces, todavía no puedo entender cómo en GTR, el espacio-tiempo se puede doblar de manera que los triángulos no tengan una suma de ángulos de 180 °, pero no se necesita una dimensión adicional.
Además, como aparentemente no se necesita una dimensión adicional (que no entiendo), ¿cómo explica esto el experimento que hicieron con Cassini? (Envían una señal de la nave espacial a la tierra y tomando el tiempo que la señal necesitaba para llegar y la distancia de Cassini, calcularon una ruta de la señal que era, creo, 50 km de lo que debería haber sido. Aparentemente, esto fue causado por la curvatura del espacio-tiempo del sol). "¿Dónde" estaba esta señal de que se movió 50 km adicionales si no hay una dimensión adicional sobre la cual se curva el espacio-tiempo?
(Esta última pregunta no debe hacerse como una pregunta separada ya que está directamente vinculada a mi pregunta original)
Entonces, ¿por qué no hay una dimensión adicional en GTR? No puedo imaginar una forma de curvar el espacio-tiempo de manera que podamos notarlo (como con cassini o la suma de ángulos) sin usar una dimensión adicional.
Actualización 2
De alguna manera "acepté" que la analogía de la hoja doblada de papel o tela (que sé que es incorrecta/incompleta) no puede transferirse al espacio 3d o al espacio-tiempo 4d y que la curvatura en matemáticas/física es probablemente algo diferente que yo pensado (con las analogías).
Encontré la siguiente imagen:
( Fuente )
¿Esta imagen (ya no la llamaría una analogía) describe mejor cómo se curva/dobla/deforma el espacio-tiempo? Al menos, explicaría por qué no hay una quinta dimensión.
Primero, la curvatura intrínseca y la curvatura extrínseca no son lo mismo. Cuando dobla una hoja de papel, por ejemplo, en un cilindro, gana curvatura extrínseca, pero la geometría del papel no cambia (ángulos en un triángulo, circunferencia de un círculo, etc.) por lo que no gana curvatura intrínseca.
Puede ser posible incrustar matemáticamente el espacio-tiempo en dimensiones superiores. Se necesitan al menos seis dimensiones, incluidas dos dimensiones de tiempo, incluso para casos simples para los que tenemos soluciones, pero se podrían necesitar muchas más dimensiones para las soluciones más generales. Esto sería tanto conceptual como matemáticamente difícil (¡la mayoría de la gente piensa que las matemáticas de gtr ya son lo suficientemente difíciles!), Y físicamente no está justificado porque no hay otras dimensiones en las que se pueda doblar el espacio-tiempo.
La curvatura intrínseca no es difícil de entender (al menos conceptualmente), y no necesita el concepto de curvatura en dimensiones superiores. Se puede entender de la misma manera que ves la curvatura de la Tierra en un mapa plano, a través de distorsiones de escala local del mapa. Aquí hay un mapa de un universo con curvatura positiva. La galaxia central no está distorsionada, pero se ve una mayor distorsión más lejos del centro (los diagramas de Estructuras del cielo dan más explicaciones, sin matemáticas, en The Large and the Small )
Puede "deshacer" las distorsiones de escala en este mapa mapeándolo en una esfera, mostrando que el mapa sería el mismo independientemente de la galaxia que elija como centro.
Tenga en cuenta que la esfera no tiene ningún significado físico. Es solo una forma de dibujar un mapa. También podemos dibujar mapas de espacio-tiempo en expansión, como este. Las galaxias no se hacen más grandes, pero las distancias entre ellas se hacen más grandes.
Se pueden utilizar otros mapas. Este es exactamente equivalente, pero en lugar de que el universo parezca expandirse, las galaxias parecen volverse más pequeñas.
Las preguntas que GR quiere responder están todas conectadas a mediciones que puedes hacer en el espacio-tiempo. Todo lo que puedes hacer es medir distancias, ángulos y el tiempo transcurrido. Si no puede medir la distancia a través de la cuarta dimensión espacial, entonces no le importa cómo está incrustado exactamente nuestro espacio-tiempo en este espacio-tiempo de dimensión superior. Todo lo que necesitas saber son las distancias, los ángulos y el tiempo transcurrido. Todos estos están definidos estrictamente en nuestro espacio-tiempo de 4 dimensiones.
El conejito está compuesto por un montón de puntos y líneas que conectan puntos vecinos, lo que crea triángulos. Cada triángulo te dice cuáles son las distancias y los ángulos entre los puntos vecinos. De hecho, el conocimiento de la longitud de cada línea en la imagen es suficiente para responder todas las preguntas sobre geometría que algunos físicos 2D que viven en este conejito podrían esperar preguntar (por supuesto, en realidad debería haber una cantidad infinita de triángulos infinitamente pequeños). Y nuestro físico no necesita preocuparse por la tercera dimensión, solo necesita conocer las distancias en su espacio 2D.
La pregunta entonces es sólo cómo codificar este conocimiento lo mejor posible. A los matemáticos se les ocurrieron dos máquinas muy importantes para eso: la métrica y el tensor de curvatura de Riemann, que se puede calcular a partir de la métrica.
En su primer ejemplo, cuando está doblando una hoja de papel, pregúntese qué cambios impone el doblez en las medidas restringidas a la hoja misma. Si lo conviertes en triángulos, los ángulos siguen siendo los mismos y las distancias también. Por lo tanto, la curva que mostró en realidad no curva la geometría del papel en absoluto. Acaba de crear una curvatura extrínseca, pero esta curvatura es inaccesible desde el papel. Alguien que vive en el papel cree que sigue tan plano como siempre.
Luego podría estirar el papel y esto ciertamente cambiaría los triángulos dibujados. Pero esto aún no curvaría la geometría. El papel estirado, es tan plano como el no estirado. Los triángulos cambiaron, pero siguen obedeciendo a la geometría euclidiana. Simplemente puede ver su deformación como un simple redibujado de triángulos (ignoremos las propiedades globales por un momento y concentrémonos solo en un pequeño vecindario de algún punto del papel) Cuando dibuje un círculo, su circunferencia será , dónde es radio.
Solo una vez que deforme el papel de tal manera que las fórmulas geométricas de la escuela secundaria fallen, creará una curvatura intrínseca. Tomemos por ejemplo una esfera:
De repente, la circunferencia del círculo azul no es . Es , pero el físico que vive en la esfera no puede medir esto . Él piensa es el radio y así se dará cuenta de que algo sospechoso está pasando. La geometría es rara. El espacio por lo tanto debe ser curvo.
En el fondo, se trata simplemente de la geometría que está utilizando.
En el plano euclidiano, los ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados. Pero dibuja un triángulo en una esfera y suman más. Por ejemplo, un triángulo dibujado desde el Polo Norte, alrededor del ecuador un poco y de regreso al polo nuevamente tiene dos ángulos de 90 grados cada uno, por lo que el ángulo polar representa el exceso angular.
La clave es que no necesitas un globo tridimensional. Un flatlander que notó que los ángulos se hacían más grandes cuanto más grande era el triángulo, desarrollaría una geometría esférica (o elíptica) de todos modos. Decimos que la geometría euclidiana es intrínsecamente plana pero que la geometría esférica es intrínsecamente curva.
Distorsiones análogas en el espacio-tiempo de Minkowski nos llevan a darnos cuenta de que también debe ser curvo.
m4r35n357
jonas
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Ideal Máximo
Andrés Steane