¿Cómo le explicarías a alguien el cambio que necesitaba Einstein en la geometría para sus nuevas ideas sobre la gravedad y el espacio-tiempo, qué buscaba pero no podía ser descrito por la geometría pseudo-euclidiana ?
Suponiendo que está hablando con un estudiante de secundaria que solo sabe geometría euclidiana, física newtoniana, cálculo y geometría analítica cartesiana.
Editar. Entonces, la gravedad es la razón por la que la geometría del espacio no puede ser euclidiana (corrección: esto no es del todo correcto, como lo explicaron 2 usuarios). Quiero preguntar más específicamente, ¿cómo? Básicamente, esperaba una respuesta que contrastara la gravedad anterior (¿no era solo un campo vectorial?) Y la nueva gravedad (algo más complicado)? Einstein encontró la geometría antigua de alguna manera insuficiente para describir su nueva idea sobre la gravedad, quiero saber más sobre esta parte.
Editar 2. Creo que me estoy acercando a un entendimiento al juntar varias respuestas. Entonces, en la imagen newtoniana de la gravedad:
En la imagen de Einstein, el espacio es como una superficie de trampolín, cuando está vacío, es plano, le pones una pelota, la pelota curva la superficie y la distorsión es local y se propaga a una velocidad c. Además, puede tratar la gravedad como una fuerza ficticia en un marco de caída libre: dos objetos inicialmente en reposo con cero aceleración propia simplemente siguen sus geodésicas.
Pero la respuesta que he estado buscando desde el principio es más cuantitativa que la anterior.
Estoy buscando una explicación que comience con la geometría euclidiana/descripción de coordenadas cartesianas del campo gravitatorio, y termine con geometría diferencial/campo de tensor métrico/(¿algo más?) Descripción.
Todavía tengo mucha confusión sobre esta parte, pero creo que leí en alguna parte que Einstein tuvo algunas dificultades cuando necesitaba describir el campo gravitatorio como un objeto matemático con 10 componentes, también, ¿cuál es su conexión con la geometría diferencial libre coordinada? Quiero saber más sobre estos puntos.
¿Cómo le explicarías a alguien el cambio que necesitaba Einstein en la geometría para sus nuevas ideas sobre la gravedad y el espacio-tiempo, qué buscaba pero no podía ser descrito por la geometría pseudo-euclidiana?
Primero, debemos asegurarnos de que comprende cómo funciona el movimiento y la aceleración sin gravedad en la geometría pseudo-euclidiana (espacio-tiempo plano) antes de que podamos explicar por qué se requiere la geometría pseudo-Riemanniana (espacio-tiempo curvo) para describir la gravedad.
En el espacio-tiempo plano, un objeto que no experimente fuerzas viajará en línea recta a una velocidad constante, según lo dicta la primera ley de Newton. En un diagrama de espacio-tiempo esto es simplemente una línea recta. Por el contrario, un objeto que está sujeto a una fuerza acelerará, lo que está representado por una línea curva en el espacio-tiempo. El radio de curvatura de esta línea está directamente relacionado con la aceleración propia, correspondiendo una curva más pronunciada a una aceleración propia mayor. La aceleración adecuada es la aceleración física medida directamente por un acelerómetro, por lo que esta relación es muy conveniente y tiene un significado experimental directo.
Ahora bien, las líneas paralelas en el espacio-tiempo corresponden a objetos en reposo entre sí. Y las líneas rectas en el espacio-tiempo corresponden a objetos con acelerómetros que marcan 0. Entonces, dos líneas rectas paralelas son objetos que están en reposo entre sí y cuyos acelerómetros marcan 0. Nunca chocarán.
Sin embargo, en presencia de la gravedad de las mareas, esto ya no se cumple. Con la gravedad de las mareas, dos objetos pueden estar inicialmente en reposo (paralelos) y tener una aceleración propia de cero (líneas rectas) pero aun así chocar (por ejemplo, cuando caen a través de agujeros perforados en el centro de un planeta). Esto es geométricamente imposible en el espacio-tiempo plano, pero es posible en el espacio-tiempo curvo.
Considere la superficie de una esfera: el concepto de líneas rectas generalizado a lo que se llama una geodésica y en una esfera las geodésicas son círculos máximos. Las líneas de longitud son geodésicas, por lo que califican como líneas rectas en un espacio curvo (una esfera). Así que considere dos líneas de longitud cercanas, en el ecuador son paralelas pero se cruzan en los polos.
Así que esto es exactamente lo que necesitamos para describir la gravedad de las mareas: espacio-tiempo curvo (geometría pseudo-Riemanniana). Por lo tanto, la gravedad de las mareas estará representada por un espacio-tiempo curvo, los objetos inerciales que tengan acelerómetros que indiquen 0 seguirán las geodésicas, y dichos objetos pueden estar paralelos (en reposo) en un punto y luego colisionar.
Einstein quería una explicación mejor que la que dio Newton de por qué los objetos con diferentes masas, como una manzana y una bala de cañón, caen a la misma velocidad. Su explicación es que la velocidad a la que caen los objetos no tiene nada que ver con su masa... tiene que ver con cómo se curva el espacio-tiempo. Ambos objetos simplemente siguen la misma "línea recta" a través del espacio-tiempo curvo. Esta explicación no puede funcionar en el espacio euclidiano porque las líneas rectas son demasiado simples.
Mientras que la relatividad general (la teoría que incluye la gravedad en la descripción del espacio-tiempo) necesitaba usar algo diferente a la geometría euclidiana, la relatividad especial, que ya existía antes, también lo necesitaba.
El principal cambio en la relatividad especial es cómo el espacio y el tiempo se relacionan entre sí. La geometría del espacio en sí sigue siendo euclidiana, y solo la descripción conjunta del espacio y el tiempo es lo que rompe eso. Esto puede verse como una necesidad derivada del hecho de que existe un límite de velocidad para la propagación de partículas.
En la relatividad general, también tienes eso. Sin embargo, la inclusión de la gravedad podría resultar en que la parte espacial no sea euclidiana. La teoría describe los campos gravitatorios como un cambio en el espacio-tiempo. Cuando no hay un campo gravitatorio, el espacio-tiempo es idéntico al de la relatividad especial. Pero la inclusión de materia, luz y diferentes formas de energía en el Universo crea campos gravitatorios que modifican el espacio-tiempo, alejándolo en algunos casos de ser pseudoeuclidiano.
Como dije en un comentario, Einstein se dio cuenta de que un modelo geométrico que explicaba la gravedad como una curvatura intrínseca del espacio-tiempo resolvía el problema de acción a distancia de la gravedad newtoniana. Con la ayuda de Minkowski, se dio cuenta de que en la Relatividad Especial existe una relación geométrica fundamental entre el espacio y el tiempo. Y una vez que tuvo la idea de que la gravedad podía tratarse como una fuerza ficticia en un espacio-tiempo curvo, era natural usar geometría no euclidiana.
Por supuesto, es posible usar geometría plana cuando se trabaja con un espacio curvo, pero se pone feo. Imagine tratar de navegar grandes distancias en la Tierra usando las coordenadas XYZ en lugar de la latitud y la longitud. Dudo que los navegantes de la época anterior a las computadoras hubieran estado contentos con eso. ;)
Otro tema importante es que para trabajar con un espacio curvo en geometría euclidiana necesita invocar una dimensión adicional (o dos) en la que está incrustado el espacio curvo. Es tanto física como matemáticamente más limpio si podemos evitar requerir tales dimensiones adicionales, y Riemann nos mostró cómo hacerlo. En una nota relacionada, la Relatividad General nos da la libertad de elegir las coordenadas que sean convenientes para un problema en particular, en lugar de que nos impongan un sistema particular de coordenadas. Después de todo, el universo no viene con un sistema absoluto de coordenadas, por lo que una teoría física debería reflejar eso.
jerry schirmer
Zahlen S