Cuando decimos que el universo es plano, esto significa que la suma de los ángulos de cualquier triángulo siempre será 180°.
Creo que "plano" se refiere a la flexión del espacio-tiempo en un espacio de 5 dimensiones (o una cuarta dimensión espacial). Sin embargo, esto contradiría el hecho de la su de los ángulos, ya que para el espacio alabeado, la suma es menor que 180°. ¿O se ignora la geometría del universo como un todo y las "pequeñas" fluctuaciones como las galaxias (que doblan el espacio)?
Entonces: ¿Es correcto describir la forma del universo en relación con un entorno de 5 dimensiones? Como se puede ver en esta imagen: (Crédito de la imagen ESA )
En esta imagen, se omite una dimensión espacial (por lo que las esferas en realidad deberían ser círculos), por lo que nuestro Universo/Brana tridimensional "flota" en un hiperespacio o volumen de dimensiones superiores. En esta imagen, el espacio está deformado localmente por la masa (o la energía, pero esto no se muestra aquí), pero el espacio en su conjunto es plano.
¿Es correcto imaginar la forma plana del universo así (teóricamente con una dimensión espacial más)?
Actualización Esta pregunta se cerró como un duplicado de las siguientes: Pregunta 1 , Pregunta 2 , Pregunta 3 .
Si bien están algo relacionados con mi pregunta, aún solicitan una pregunta diferente, a saber, la siguiente:
Pregunta 1: ¿Es su universo tridimensional parte de la superficie de una esfera de 4 dimensiones [como en la analogía de la hormiga-esfera] que no podemos percibir o acceder?
Pregunta 2: La corrección de la analogía de la hoja doblada para GTR
Pregunta 3: ¿Podría el universo doblarse en una cuarta dimensión para formar una esfera de 4 dimensiones?
La esencia de mi pregunta era: cuando nos referimos a la forma del universo (ser plano, por ejemplo), ¿nos referimos a la misma curvatura que en GTR?
No, tu creencia no es correcta. Nosotros, al menos en la Relatividad General (GR), no incrustamos nuestro espacio-tiempo en un espacio dimensional superior (o como dijiste en 4 dimensiones del espacio).
Aunque estoy de acuerdo en que es posible imaginar muchas superficies curvas incrustadas en una dimensión superior, no es así como hacemos GR. De hecho, la imagen que tienes es una de las más engañosas para interpretar las matemáticas de GR.
Entonces, lo que está sucediendo es que estás restringido a tu variedad de 4 dimensiones y no sabes qué hay fuera de él, como una hormiga restringida en una esfera que simplemente lo imaginaría como un espacio de 2 dimensiones y no sabría que está incrustado en un espacio tridimensional.
Ahora bien, para hacer frente a tales problemas, Gauss había encontrado la maquinaria matemática correcta que fue refinada por Reimann. De hecho, el resultado que afirma sobre las sumas de los ángulos de un triángulo en una superficie curva se obtiene sin incrustar la superficie en una dimensión superior. Nos las arreglamos para averiguar si el espacio es curvo o no quedándonos en ese espacio y no viéndolo desde afuera (mediante la incrustación).
Las matemáticas comienzan con el teorema de Gauss-Bonnet y luego conducen a la geometría reimaniana. Lo que calculamos es la curvatura intrínseca. Por ejemplo: imagina un cilindro, puedes verlo como curvo pero no es una superficie curva. Tiene curvatura intrínseca cero. Para llegar a eso puramente matemáticamente, debe mostrar que el tensor de curvatura de Reimann se desvanece, pero también puede verlo intuitivamente. Por otro lado, una esfera es curva.
El cilindro tiene una curvatura extrínseca (que se puede calcular incrustándolo), pero no tiene una curvatura intrínseca, mientras que una esfera tiene una curvatura intrínseca.
GR está formulado en el lenguaje de la curvatura intrínseca. Ciertamente, no hay nada de malo en estudiar, digamos, una esfera doble incrustada en un espacio tridimensional. Pero no es necesario y exigir que exista un espacio de dimensiones tan altas es una restricción indebida. Es bastante maravilloso darse cuenta de que una esfera de 2 simplemente puede existir en nada más que 2 dimensiones: la geometría está codificada en la superficie.
No hay necesidad de un espacio de dimensiones superiores en el que incrustar la variedad espacial. La curvatura de Riemann es una medida de la curvatura intrínseca de la superficie, es independiente y no requiere ninguna incrustación.
El tensor de Riemann es la cantidad fundamental que describe la curvatura intrínseca de las superficies. Una buena manera de visualizar cómo "mide" la curvatura intrínsecamente (sin referencia a un espacio de incrustación), es examinar cómo un solo vector,
, termina cuando es transportado en paralelo a lo largo de dos curvas diferentes,
y
. La siguiente imagen es de Nakahara 7.3:
Comenzando un , transporte paralelo de a una distancia lejos a lo largo da . Luego, junto a una distancia a da
Puedes hacer el mismo ejercicio a lo largo de la otra curva, . Entonces, cuando tomas la diferencia de los vectores en el punto usted obtiene
Por supuesto, a menudo es útil visualizar espacios con curvatura espacial positiva como esferas que existen en un espacio de dimensiones superiores, pero eso es porque los humanos estamos acostumbrados a ver las cosas de esta manera. Parte de la diversión de la geometría diferencial es aprender a deshacerse de estos hábitos de percepción y comprender las superficies en términos de sus geometrías intrínsecas.
charlie
jonas
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Juan Rennie
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