¿Cómo puede el espacio-tiempo ser intrínsecamente curvo? [cerrado]

Muchas otras respuestas aquí entran en mucho más detalle, pero creo que la respuesta más simple a su pregunta es que no importa si modelamos o no la curvatura del espacio-tiempo intrínseca o extrínsecamente. La idea es que, si podemos modelar la curvatura del espacio-tiempo intrínsecamente, entonces básicamente no hay razón para suponer la existencia de ningún otro espacio en el que viva la variedad del espacio-tiempo. La teoría no lo requiere, y no cambia las predicciones de la teoría. incluso si estaba incrustado en algún otro espacio, por lo que no tiene sentido.

Creo que es posible que deba aprender a aceptar separar las matemáticas de una teoría de su ontología. La realidad es que podemos hacer predicciones excelentemente precisas, pero en última instancia es muy difícil determinar con precisión la naturaleza "verdadera" de la realidad, siempre que estas cosas sean experimentalmente inobservables. Y al final del día, sería difícil encontrar a un físico moderno que piense que la relatividad general es completamente cierta, ya que la mayoría busca algún tipo de teoría cuántica de la gravedad que tenga la relatividad general como límite clásico.

Me disculpo por desviarme más de la filosofía que de la física en mi respuesta, pero pediste una respuesta no matemática (aunque no estoy completamente seguro de si esto cumplirá con tus demandas).

EDITAR: para ser claros, la curvatura intrínseca de una variedad es un tipo de curvatura observable incluso para los "habitantes" de la variedad misma, mientras que la curvatura extrínseca solo es observable desde una incrustación. Ambos se pueden ver en una variedad que está incrustada en un espacio, es solo que la curvatura extrínseca requiere una incrustación mientras que la intrínseca no. No estaba tratando de dar a entender que son lo mismo que un comentario señaló. Disculpas si cometo algún error en mis respuestas, estoy un poco oxidado en la geometría riemanniana/pseudo-riemanniana.

Intentaré dar una respuesta, porque yo mismo estaba pensando en esto.

La respuesta está en la geometría de Riemann, pero la pregunta es, ¿qué está tratando de decirnos? Hablaré sobre el espacio curvo (geometría de Riemann) y luego sobre el espacio-tiempo curvo (geometría pseudo-Riemanniana).

Defino el espacio como el conjunto de ubicaciones (matemáticamente, todas las ubicaciones se conceptualizan como puntos). Ahora la cuestión es que tengo que especificar las relaciones entre estas ubicaciones. Por ejemplo, algunas ubicaciones están más cerca unas de otras que otras, el conjunto de ubicaciones es$3$-dimensionales, etc. Estas son todas propiedades reales del conjunto.

Todo este proceso de caracterización matemática de todas las propiedades de lo que conocemos como espacio viene en "tres capas".

1. El primero es el topológico: para cada ubicación, esto especifica un conjunto de ubicaciones que están "cerca" de la ubicación original. Esto es básicamente las relaciones de "cercanía" entre puntos. En realidad, una palabra más precisa que resume esta capa es probablemente "continuidad".
2. El segundo es diferencial: necesitamos una forma de discriminar entre líneas en zig-zag y curvas suaves (porque sabemos que los objetos en el espacio exterior toman trayectorias suaves). Esta es la capa que hace posible hacer cálculos (en los que se basa la física).
3. El tercero es riemanniano: aunque especificamos continuidad y suavidad en las capas anteriores, todavía falta algo. Necesitamos especificar escalas de longitud y perpendicularidad. Esencialmente, necesitamos definir relaciones entre diferentes direcciones en un punto (qué dos direcciones son perpendiculares, etc.). Toda la información relevante se resume en el tensor métrico$g_{\mu\nu}$.

Ahora, un cambio en la métrica significa un cambio en las relaciones entre puntos y direcciones. Por ejemplo, comenzando con Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX, los matemáticos se dieron cuenta de que podemos modificar el teorema de Pitágoras de ciertas formas y aun así obtener matemáticas autoconsistentes (por ejemplo, si$dx$y$dy$son los catetos de un triangulo rectangulo y$ds$es la hipotenusa, entonces en lugar de escribir$dx^{2} + dy^{2} = ds^{2}$tal vez podamos escribir$2dx^{2} + dx\,dy + 3dy^{2} = ds^{2}$), pero esto se debe a que todo lo que están haciendo es cambiar el tensor métrico en una variedad.

Entonces, en resumen, la idea de la curvatura intrínseca del espacio es solo la idea de que las relaciones entre ubicaciones y direcciones cambian de alguna manera no estándar.

Por supuesto, la pregunta es sobre el espacio-tiempo. Defino el espacio-tiempo como el conjunto de eventos, y defino un evento como una ubicación con un tiempo específico. Pasamos por el mismo proceso de definición de relaciones entre diferentes eventos, excepto que la tercera capa es geometría pseudo-Riemanniana (esto se hace para tener en cuenta el tiempo).

La propuesta de Einstein fue que la gravedad es el resultado de cambios en las relaciones entre eventos y direcciones.

Por qué ocurren estos cambios o cómo ocurren es una pregunta que actualmente no tiene respuesta, y se cree que la gravedad cuántica podría proporcionar una respuesta.

Lo que quiero enfatizar es que en ningún momento se conceptualizó el espacio o el espacio-tiempo como un tejido o un éter. Hay mucha confusión con respecto a este punto, y es la razón por la que me interesó esta pregunta en primer lugar.

Algunas personas podrían pensar que si el espacio-tiempo no es un tejido, entonces no es nada. Pero eso no es correcto, porque se define como el conjunto de eventos y podemos identificar propiedades reales sobre este conjunto. Es un concepto, y los conceptos no son cosas materiales ni son nada.

El espacio-tiempo es solo un conjunto abstracto de eventos con relaciones entre estos eventos, y la curvatura se refiere a cómo se alteran estas relaciones.

Ok, intentemos poner curvatura intrínseca en palabras como OP solicitado.

Tome un espacio y adjunte una pequeña flecha a algún punto de este espacio.

Ahora arrastre esta flecha alrededor de un bucle, pero asegúrese de no girarla (en relación con su entorno local) en ningún punto.

Si la flecha sigue girando, eso se debe a la curvatura intrínseca del espacio.

Ejemplo: una esfera bidimensional. Une la flecha al polo norte. Arrástrelo paralelo a la dirección de la flecha hasta que toque el ecuador. La flecha ahora debe mirar hacia el sur. Ahora arrástrelo ortogonal a su dirección a lo largo de un cuarto del ecuador. La flecha todavía mira hacia el sur. Ahora arrástralo al polo norte. Si haces todo correctamente, la flecha debería volver rotada por$90$grados Así es como sabes que una esfera tiene una curvatura intrínseca.

tl; dr: No hay ninguna razón por la que debería ser así, simplemente es.

La razón principal por la que, en física, asumimos que el espacio-tiempo 3+1 no es euclidiano (y de hecho es curvo cuando es masivo) es porque los experimentos lo reivindican abrumadoramente. Es lo mismo con la velocidad de interacción limitada (velocidad de la luz), la invariancia relativista, el principio de acción mínima (conservación de energía, etc.), la desigualdad de Bell (naturaleza cuántica), etc.

No hay compulsión sobre la naturaleza para obligarse a esta idea, simplemente lo hizo.

Por lo que sabemos, las cosas podrían haber existido en un espacio-tiempo plano en lugar de uno curvo y la gravedad, o lo que sea, habría hecho lo suyo, sin afectar el espacio en absoluto. De hecho, antes de GR, así pensaban los físicos.

De todos modos , su pregunta, en mi humilde opinión, parece ser más simple y quizás más profunda.

¿Hay alguna diferencia entre el espacio y el espacio incrustado?

Tenga en cuenta que puede haber matemáticamente, por lo que modificamos para

¿Existe una diferencia físicamente observable entre el espacio y el espacio incrustado?

Lo que está pidiendo es que exista un espacio curvo, ¿es necesario el espacio de incrustación?

Los matemáticos se sienten bastante cómodos tratando espacios sin incrustaciones. Una superficie simplemente puede existir, sin necesidad de un volumen para flotar. Lo hace con todas sus propiedades adjuntas: curvatura, rugosidad, agujeros, etc. De hecho, incluso un punto mísero puede presumir de su existencia sin ninguna ayuda de "$3$Dness".

Entonces, ¿por qué necesita incrustaciones? Bueno, porque vivimos en un$3$mundo D. Así que tomamos estas superficies independientes, las incrustamos en nuestro mundo y vemos lo que obtenemos. Esa es la razón por la que nunca puedes ver la verdadera botella de Klein.
De manera similar, vivimos en un mundo 3+1D. No hay más dimensiones. No necesitamos una incrustación para experimentar este mundo. Entonces este mundo simplemente existe, no hay un requisito a priori para una dimensión superior.

¿Cómo tiene esto algún sentido intuitivo: que las dimensiones incrustadas no son necesarias para que exista un espacio? Bueno, piénselo de esta manera trillada: digamos que las personas viven en esta superficie no incrustada (curva o no). Pueden hacer mediciones en esa superficie, desde escala atómica hasta océanos (el Reimannianness). Luego pueden comparar estas medidas con su conocimiento de la geometría euclidiana para concluir si su espacio es euclidiano (o incluso curvo). En ninguna parte de este proceso tuvieron que medir nada a lo largo de la dimensión de incrustación. A partir de mediciones enteramente dentro de este espacio, podrían establecer la curvatura de su espacio (y otras propiedades); y ese es el punto: el espacio tiene toda la maquinaria que necesitan para caracterizar ese espacio. Curiosamente, es posible que incluso se den cuenta de que su espacio tiene agujeros, posiblemente algo debe llenarlos y, sin embargo, nunca verán ese agujero o lo que lo llena.

Recuerde que solo porque uno puede esperar que sea necesaria una dimensión adicional para doblarse, en realidad no tiene por qué ser así. Una analogía sería asumir que necesita algo para propagarse.